Частица в одномерной прямоугольной яме. Стационарные состояния. Туннельный эффект

Частица в одномерной прямоугольной яме

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице, находящейся в потенциальной яме с бесконечно высокими «стенками». Такая яма описывается потенциальной энергией U(x) следующего вида

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде:

Т.е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, удовлетворяется только при собственных значениях En, зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия En частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантовые значения энергии En называются уровнями энергии, а число п, определяющее энергетические уровни – главным квантовым числом.

Стационарные состояния

Стационарным состоянием (от лат. stationarius — стоящий на месте, неподвижный) называется состояние квантовой системы, при котором её энергия и другие динамические величины, характеризующие квантовое состояние, не изменяются. Существование таких состояний для атома было предсказано А. Эйнштейном в 1906 г. и подтверждено Н. Бором в 1916 г. На основе полученных данных, Бор сформулировал свои постулаты. Согласно его выводам, атом может переходить из одного стационарного состояния в другое лишь с помощью поглощения или выделения кванта с энергией, равной разности энергий атома в начальном и конечном стационарных состояниях. если система замкнутая и оператор полной энергии не зависит от времени, то для такой системы существуют стационарные состояния с точно определенной энергией, в которых все измеряемые величины не меняются во времени. Стационарные состояния описываются собственными функциями оператора полной энергии

где

и Е – собственное значение оператора полной энергии или энергия стационарного состояния. Уравнение (II.3.14a) получается путем подстановки функции (II.3.14б) в уравнение (II.3.11) и называется стационарным уравнением Шредингера.

Туннельным эффектом называется прохождение микрочастицы сквозь потенциальный барьер. Потенциальный барьер – увеличение потенциальной энергии в некоторой области пространства.

Рассмотрим такой мысленный эксперимент, который, впрочем, каждый легко может проделать реально. Возьмем мяч и бросим его в стенку. Мяч не пробьет стенку, а отскочит назад. Почему? Его энергия мала для пробивания стены. Если вместо мяча пробивать стену снарядом, то результат эксперимента будет положительный (снаряд пробьет стену), так как у снаряда достаточно энергии. Этот эксперимент - наглядная иллюстрация ситуации, изображенной на рис. 12. Для мяча полная энергия Е меньше высоты барьера, для снаряда – больше. Таким образом, в классической механике туннельный эффект невозможен. Для квантовомеханической частицы возможно прохождение “сквозь” барьер, даже если высота этого барьера больше её полной энергии. Частица как бы проходит сквозь открывшийся для нее “туннель” в стене, откуда и название эффекта. Таким образом, туннельный эффект – явление чисто квантовомеханическое и объясняется законами квантовой механики.

Для объяснения туннельного эффекта рассмотрим частицу, находящуюся в потенциальном ящике со стенками конечной высоты Такой ящик изображен на рис. 13. Частица находится в области координат x1 < x < x2, причем её полная энергия меньше высоты стенок ящика E < Ep. Есть ли вероятность выхода частицы из такого ящика? Ответ может дать решение уравнения Шрёдингера. Запишем его для области x > x2:

Таким образом, имеется конечная, отличная от нуля вероятность нахождения частицы в области координат x > x2, т.е. за пределами ящика, хотя её энергия и меньше высоты стенок.