Уравнение Шредингера. Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной» яме

Уравнение Шредингера в общем виде имеет вид: -i²/2m × DY +U(x,y,z,t) Y=i i ׶Y/¶t, где DY=¶²Y/¶x²+¶²Y/¶y²+ +¶²Y/¶z² – оператор Лапласа, E - полная энергия частицы (постоянная), i =½h/p, U(x,y,z,t)- потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, i - мнимая единица, Y(x,y,z,t) - искомая волновая функция.

Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия U частицы меньше некоторого значения U_макс. В частности, при U=U(x) и U_макс=¥ имеется одномерная потенциальная яма бесконечной глубины. По условию задачи частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружить за пределами и на границах «ямы» равна нулю. В пределах «ямы» уравнение Шредингера сведется к уравнению ¶²Y/¶x²+2m/i² ×EY=0. Общее решение дифференциального уравнения Y(x)=A×sin kx + B×cos kx, где k²=2mE/i². Т.к. Y(0)= Y(ℓ)=0, то E_n=n²p²i²/(2mℓ²) (n=1,2,3,…). Квантовые значения E_n называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, главным квантовым числом.

Квантовые числа

Главное квантовое число n определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с единицы. Момент импульса электрона в атоме квантуется по формуле L=iÖ(ℓ(ℓ+1)), где ℓ - орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает значения ℓ=0,1,…,(n-1). Т.к. вектор L_e момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L_ez на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные i: L_ez= im_ℓ, где m_ℓ- магнитное квантовое число – определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление. Абсолютная величина спинового момента импульса электрона L_ℓs находится по формуле L_ℓs =Ö(s(s+1)) ×i, где s- спиновое квантовое число, равное s=½.

Лазеры. Свойство лазерного излучения.

Если на атом, находящийся в возбужденном состоянии 2, действует внешнее излучение с частотой, удовлетворяющей условию hn=E₂-E₁, то возникает вынужденный переход в основное состояние 1 с излучением фотона той же энергии hn=E₂-E₁. При подобном переходе происходит дополнительное излучение атомом еще одного фотона, под действием которого произошел переход. Возникшее в результате таких переходов излучение называется вынужденным. Оптическими квантовыми генераторами (генераторами когерентного света) называются источники света, работающие на основе эффекта вынужденного излучения в активной среде с инверсной заселенностью энергетических уровней. ОКГ, работающие в оптическом диапазоне, называются лазерами. Состоянием с инверсной заселенностью называется неравновесное состояние системы, при котором число атомов в возбужденных состояниях было бы больше, чем их число в основном состоянии. Лазерное излучение обладает следующими свойствами: 1) временная и пространственная когерентность. Время когерентности составляет 10^-3 с, что соответствует длине когерентности порядка 10⁵ м, т.е. на семь порядков выше, чем для обычных источников света.

2) Строгая монохроматичность

3) Большая плотность потока энергии. 4) Очень малое угловое расхождение.