Глава 1. Физические основы механики

 

101. Определить скорость v и полное ускорение а точки в момент времени t= 2 c, если она движется по окружности радиусом R= 1 м согласно уравнению x =At+Bt³, где А= 8 м/c; B= -1 м/c³; x - криволинейная координата, отсчитанная от некоторой точки, принятой за начальную, вдоль окружности.

102. Точка обращается по окружности радиусом R= 1,2 м. Уравнение движения точки φ =At+Bt³, где А= 0,5 рад/c; B= 0,2 рад/с³. Определить тангенциальное а_t,, нормальное а_n и полное а ускорения точки в момент времени t= 4 c.

103. Определить полное ускорение а в момент времени t= 3 с точки, находящейся на ободе колеса радиусом R= 0,5 м, вращающегося согласно уравнению φ =At+Bt³, где А= 2 рад/c; B= 0,2 рад/c³.

104. Точка обращается по окружности радиусом R= 8 м. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки a_n= 4 м/c², вектор полного ускорения, а образует в этот момент с вектором нормального ускорения a_n угол α= 60⁰. Найти скорость νи тангенциальное ускорение a_t точки.

105. По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: x₁=A₁+B₁t+C₁t² и x₂=A₂+B₂t+C₂t², где А₁= 10 м; B₁= 1 м/c; C₁= -2 м/c²; A²= 3 м; B₂= 2 м/c; C₂= 0,2 м/c². В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковы по величине? Найти ускорения а ₁ и а ₂ этих точек в момент t= 3 c.

106. Диск радиусом R= 0,2 м вращается согласно уравнению φ =A+Bt+Ct³, где А= 3 рад; В= -1 рад/c; C= 0,1 рад/c³. Определить тангенциальное а_t, нормальное а_n и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени t= 10 c.

107. Точка движется по прямой согласно уравнению x=At+Bt³, где А= 6 м/c; B= -0,125 м/c³. Определить среднюю путевую скорость v точки в интервале времени от t= 2c до t= 6c.

108. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения имеет вид x=At+Bt³, где А= 3 м/c; B= 0,06 м/c³. Найти скорость v и ускорение, а точки в моменты времени t₁= 0 и t₂= 3 c. Каковы средние значения скорости v_x и ускорения a_x за первые 3 секунды движения?

109. В подвешенный на нити длиной l= 1,8 м деревянный шар массой m ₁ = 8 кг попадает горизонтально летящая пуля массой m ₂ = 4 г. С какой скоростью летела пуля, если нить с шаром и застрявшей в нем пулей отклонилась от вертикали на

угол α = 3⁰? Размером шара пренебречь. Удар пули считать прямым, центральным.

110. По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m ₁ = 300 кг, ударяет молот массой m ₂ = 8 кг. Определить к.п.д. η удара, если удар неупругий. Полезной считать энергию, пошедшую на деформацию куска железа.

111. Шар массой m ₁ = 1 кг движется со скоростью ν₁ = 4 м/c и сталкивается с шаром массой m₂= 2 кг, движущегося навстречу ему со скоростью v ₂ = 3 м/c. Каковы скорости u ₁ и u ₂ шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

112. Шар массой m₁ = 3 кг движется со скоростью v ₁ = 2 м/c и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂ = 5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.

113. Определить к.п.д. неупругого удара бойка массой m ₁ = 0,5 т, падающего на сваю массой m ₂ = 120 кг. Полезной считать энергию, пошедшую на вбивание сваи.

114. Шар массой m ₁ = 4 кг движется со скоростью v ₁ = 5 м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью ν₂ = 2 м/с. Считая удар прямым, центральным, а шары абсолютно упругими, найти их скорости после удара.

115. Вагон массой m =35 т движется на упор со скоростью v= 0,2 м/c. При полном торможении вагона буферные пружины сжимаются на Δ l= 12 см. Определить максимальную силу F_max сжатия пружин.

116. Шар массой m ₁ = 5 кг движется со скоростью v ₁ = 1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂= 2 кг. Определить скорости u ₁ и u ₂ шаров после удара. Шары считать абсолютно упругими, удар - прямым, центральным.

117. Из орудия массой m ₁ = 5 т вылетает снаряд массой m ₂ = 100 кг. Кинетическая энергия снаряда при выстреле Т ₁ = 7,5 10⁶ Дж. Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи?

118. Два груза массами m ₁ = 10 кг и m ₂ = 15 кг подвешены на нитях длиной l= 2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол φ = 60⁰ и отпущен. Определить высоту h, на которую поднимутся оба груза после удара. Удар считать неупругим.

119. Определить работу растяжения двух соединенных последовательно пружин жесткостями k ₁ = 400 Н/м и k ₂ = 250 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на Δ l= 2 см.

120. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m ₁ = 10 г со скоростью v= 300 м/с. Затвор пистолета массой m ₂ = 200 г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой k= 25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после выстрела?

121. Акробат прыгает в сетку с высоты H ₁ = 8 м. На какой предельной высоте h ₁ над полом надо натянуть сетку, чтобы акробат не ударился об пол при прыжке? Известно, что сетка прогибается на h ₂ = 0,5 м, если акробат прыгает в нее с высоты H ₂ = 1 м.

122. Пружина жесткостью k= 500 Н/м сжата силой F= 100 Н. Определить работу А внешней силы, дополнительно сжимающей эту пружину еще на Δ l= 2 см.

123. Две пружины жесткостью k ₁ = 0,5 кН/м и k ₂ = 1 кН/м скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию Е_п данной системы при абсолютной деформации Δ l= 4 см.

124. Какую нужно совершить работу А, чтобы пружину жесткостью k= 800 Н/м, сжатую на x= 6 см, дополнительно сжать на Δ x= 8 см?

125. Если на верхний конец вертикально расположенной пружины положить груз, то пружина сожмется на Δ l= 3 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на ее конец с высоты h= 8 см?

126. Налетев на пружинный буфер, вагон массой m= 16 т, двигавшийся со скоростью v= 0,6 м/с, остановился сжав пружину на Δ l= 8 см. Найти жесткость пружины.

127. Из пружинного пистолета с жесткостью пружины k= 150 Н/м был произведен выстрел пулей массой m= 8 г. Определить скорость пули при вылете из пистолета, если пружина была сжата на Δ x= 4 см.

128. Определить скорость поступательного движения цилиндра, скатившегося с наклонной плоскости высотой h= 20 см.

129. На обод маховика диаметром D = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m= 2 кг. Определить момент инерции J маховика, если он, вращаясь равноускорено под действием тяжести груза, за время t= 3 с приобрел угловую скорость ω=9 рад/ c.

130. Нить с привязанными к её концам грузами массой m ₁ = 50 г и m ₂ = 60 г перекинута через блок диаметром D= 4 см. Определить момент инерции блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение ε = 1,5 рад/c².

131. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину согласно уравнению φ =At+Bt³, где А= 2 рад/с; В= 0,2 рад/c³. Определить вращающий момент М, действующий на стержень в момент времени t= 2 с, если момент инерции стержня J= 0,048 кг м².

132. По горизонтальной плоской поверхности катится диск со скоростью v =8 м/c. Определить коэффициент трения, если диск, будучи предоставленным самому себе, остановился, пройдя путь s= 18 м.

133. Карандаш, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую ω и линейную v скорости будет иметь в конце падения верхний его конец? Длина карандаша l= 15 см.

134. Определить момент силы М, который необходимо приложить к блоку, вращающемуся с частотой n= 12 с^-1, чтобы он остановился в течение времени Δ t= 8 c. Диаметр блока D= 30 см. Массу блока m= 6 кг считать равномерно распределенной по ободу.

135. На какой угол α надо отклонить однородный стержень, подвешенный на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня, чтобы нижний конец стержня при прохождении им положения равновесия имел скорость v= 5 м/с? Длина стержня l= 1 м.

136. К ободу диска массою m= 5 кг приложена постоянная касательная сила F= 20 Н. Какую кинетическую энергию будет иметь диск через Δ t= 5 с после действия силы?

137. Определить линейную скорость v центра шара, скатившегося с наклонной плоскости высотой h= 1 м.

138. По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D= 75 cм и массой m= 40 кг приложена сила F =1 кН. Определить угловое ускорение ε и частоту вращения n маховика через время t= 10 с после начала действия силы, если радиус r шкива равен 12 см.

139. На краю платформы в виде диска диаметром D= 2 м, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n₁= 8 мин-1, стоит человек массой m ₁ = 70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой n ₂ = 10 мин-1. Определить массу m₂ платформы. Момент инерции человека рассчитывать, как для материальной точки.

140. На скамье Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной l= 2,4 м и массой m= 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамья с человеком вращается с частотой n ₁ = 1 с^-1. С какой частотой n ₂ будет вращаться скамья, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг м².

141. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси скамейки. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой n ₁=10 с^-1. Радиус колеса R= 20 см, его масса m= 3 кг. Определить частоту вращения n ₂ скамьи, если человек повернет стержень на угол 180⁰. Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг м². Массу колеса можно считать равномерно распределенной по ободу.

142. Шарик массой m= 60 г, привязанный к концу нити длиной l= 1,2 м, вращается с частотой n ₁ = 2 c^-1, опираясь на горизонтальную поверхность. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния l ₂ = 0,6 м. С какой частотой n ₂ при этом будет вращаться шарик? Какую работу А совершает

внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.

143. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром D= 0,8м и массой m ₁=6 кг стоит человек массой m ₂=60 кг. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий на него мяч массой m =0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии r= 0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча v =5 м/с.

144. Платформа в виде диска диаметром D =3 м и массой m ₁=180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью ω будет вращаться эта платформа, если по её краю пойдет человек массой m ₂=80 кг со скоростью v= 2,5 м/с относительно платформы?

145. Определить период Тколебаний стержня длиной l =30 см около оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

146. Определить период Т колебаний диска радиусом R= 40 см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

147. Однородный шарик подвешен на нити, длина которой равна радиусу шарика R. Определить период Т колебаний этой системы.

148. Определить период колебаний диска радиусом R =20 см около горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса диска перпендикулярно его плоскости.

149. Обруч диаметром D= 60 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период Т этих колебаний.

150. Определить максимальное ускорение a_max материальной точки, совершающей гармонические колебания самплитудой А= 15 см, если наибольшая скорость точки v _max=30см/c. Написать уравнение колебаний.