Уравнение политропы. Определение показателя политропы

 

На рисункев P-Vкоординатах изображенычетыре простейших процесса (изопроцесса), для сравнения проходящие через общую точку А:

1- изобарный 2-изохорный; 3-адиабатный;4-изотермический

 

р 2

 

А

 

 

V

 

Рисунок. Изображение изопроцессов в P-Vкоординатах.

 

Но в целом ряде случаев реальные процессы, например, изображенный на рисунке, не соответствуют ни одному из изопроцессов. Для выполнения теплотехнических расчётов в таких случаях, пусть даже с какими-то погрешностями, реальный процесс заменяется гипотетическим, имеющим формулу, удобную для математических преобразований.

 

Рисунок. Пример политропного процесса

Этому требованию удовлетворяет уравнение вида .

Так как это уравнение должно описывать всё многообразие реальных процессов, то в этом уравнении должен присутствовать коэффициент согласования (идентификации). Этим коэффициентом является показатель степени n, называемый показателем политропы.

В отличие от показателя адиабатыk>1в уравнении Пуассона , показатель политропы может иметь любые значения в интервале от ( -¥) до (+¥), т ак как является коэффициентом согласования ,.

Показатель политропы определяется путем обработки опытных данных.

Алгоритм определения показателя политропы n по известной кривой процесса.

1) Разбиваем pv -диаграмму реального процесса на N точек (чем больше точек, тем лучше).

2) Снимаем с pv - диаграммы реального процесса значение абсолютного давления p_i и удельного объёма v_i в каждой i-той точке и заносим в таблицу.

3) Для каждойi-той точки вычисляем значения ln p_i и ln v_i и заносим в таблицу.

4) Строим все точки процесса в логарифмическихкоординатах ln p -ln v.

5) Аппроксимируем точки в логарифмических координатах одной прямой, используя метод наименьших квадратов или другой аналогичный метод. Если это удаётся, то тангенс угла наклона прямой к оси lnvравен показателю политропы.

Ниже представлен пример определения показателя политропы.

 

Рис. Пример обработки опытных данных для определения показателя политропы

i-номерточки	pi, Па	vi,	Ln pi	Ln vi
	p1	v1	ln p 1	ln v 1
	p2	v2	ln p 2	ln v 2
…	…	…	…	…
N	pN	vN	ln p N	ln v N

 

n=tgα

Рис. Пример определения показателя политропы.

 

Если все точки не укладываются удовлетворительно на одну прямую, то применяется метод линейно-кусочной аппроксимации, когда показатели политропы определяются для отдельных участков процесса.

 

lnp

. N

 

.2. 9

. 4

 

.1. 8

. 5

. 6. 7

 

ln v

Рис. Пример определения показателей политропы для отдельных участков участков.   участков.

 

 

В этом случаереальный процесс рассчитывается также по уравнению pvⁿ = const, но сразными значениями показателя политропы(n₁, n₂, n₃ и т.д.)для отдельных участков. Значения работы А, теплотыQ, внутренней энергии U, найденные на отдельных участках процессов, затем суммируются.

Метод определения показателя политропы по двум точкам.

В тех случаях, когда расчёты выполняются для небольшого участка процесса иликогда из всего процесса известны только две его точки, можно воспользоваться методом определения показателя политропы по двум точкам.

 

P,Па

 

Реальный прпроцесс

Р₁

Политропный процесс pvn =const

 

 

Р₂ 2

 

V₁V₂V, м³/кг

рис.15. Иллюстрация к методу определения показателя политропы по двум точкам

 

Уравнение политропы для двух точек реального процессав pv-координатах имеет вид:

p₁v₁ⁿ = p₂v₂ⁿ;

Логарифмируя это уравнение и приводя подобные члены, получим формулу для вычисления

показателя политропы по двум точкам:

 

В политропном процессе газ считается идеальным.

Так как основное уравнение политропы pvⁿ=const по форме совпадает с уравнением адиабаты идеального газа pv^k=const (уравнением Пуассона), то можно по аналогии с другими уравнениями Пуассона записать еще два уравнения политропы:

 

 

 

Эти два уравненияможно также использовать для определения показателя политропы обоими методами.