ТЕОРІЯ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ
Лекції
Змістовий модуль 2
Лекція 4. Математичні моделі вхід-вихід (ВВ)
• 4.1. Математичне моделювання.
• 4.2. Моделі ВВ для одноканальних систем.
• 4.3. Передавальна функція.
• 4.4. Моделі ВВ багатоканальних систем.
• 4.5. Моделі ВВ збурених систем.
Математичне моделювання
• Для того, щоб управляти яким-небудь об'єктом, необхідно знати як пов'язані вхідні і вихідні змінні. При зміні інформації на вході об'єкта змінюється його внутрішній стан і, як наслідок, виходи. Це означає, що існує деяке правило, за яким елемент перетворює вхідні змінні и в вихідні y: y = А [и]. Це правило, по суті, являє собою деяку модель об'єкта.
• Математичною моделлю динамічної системи прийнято називати сукупність математичних символів, що однозначно визначають розвиток процесів у системі, тобто її рух.
• В залежності від використовуваних символів розрізняють аналітичні та графоаналітичні моделі. Аналітичні моделі будуються з допомогою буквених символів, графоаналітичні - допускають застосування графічних позначень.
|
|
Типи моделей | |
В залежності від використовуваних символів | аналітичні |
графоаналітичні | |
В залежності від типу сигналів | безперервні |
дискретні | |
В залежності від використовуваних операторів | лінійні |
нелінійні | |
В залежності від використовуваних операторів | часові |
частотні | |
У залежності від способу отримання | теоретичні |
експериментальні |
Моделі ВВ для одноканальних систем
Модель вхід-вихід (ВВ) - це опис зв'язку вхідних і вихідних сигналів динамічної системи. | ||||
При описанні системи керування в цілому вхідним сигналом САК служить завдання y*(t) = g (t), а вихідним - змінна y (t). |
| |||
При описанні об'єкта керування вхідним сигналом є керуючий вплив u(t), а вихідним - регульована змінна y (t). Для інших блоків – можливо замість u(t) → х(t) або інш. |
• Лінійна модель вхід-вихід одноканальної
Динамічної системи
(4.1)
, -коефіцієнти (параметри моделі), 0 ≤ m<n, n -порядок моделі, , .
(4.1) - лінійне неоднорідне диференційне рівняння n- го порядку.
Права частина цього рівняння визначає зовнішню дію на систему.
Cтаціонарні системи - значення параметрів незмінні:
, .
Нестаціонарні системи - параметри є функціями часу,
.
У разі, коли , рівняння (4.1) називається приведеним.
• Для спрощення застосовують операторну форму.
• Оператор диференціювання , .
• Рівняння ВВ (4.1) в операторній формі:
= . (4.2)
Або (4.3)
де a , (4.4)
b . (4.5)
Загальне рішення лінійного неоднорідного диференційного рівняння n- го порядку з постійними коефіцієнтами є сумою загального рішення відповідного однорідного рівняння і частинного рішення неоднорідного рівняння:
|
|
Відповідне однорідне рівняння:
0.
Однорідне рівняння описує динаміку системи при умові, що зовнішня дія на неї відсутня. Для його вирішення використовують підстановку Ейлера, а саме:
Ця підстановка приводить розв’язання лінійного диференційного рівняння до алгебраїчного рівняння
exp(pt)=0.
Або =0. (4.6)
У виразі а(p) і b(p) мають спеціальні назви.
а(р) - характеристичний поліном диференціального рівняння (4.1) або власний оператор
a .
Корені рівняння (4.6) а(р)=0 називають полюсами системи (4.1).
У загальному випадку рівняння а(р)=0 має п комплексних коренів .
b(p) -характеристичний поліном правої частини (4.1)
або оператор дії:
b .
Корені рівняння b(р)=0 називають нулями системи (4.1).
У загальному випадку рівняння b(р)=0 має m комплексних коренів .
Передавальна функція
• З виразу (4.3) знайдемо явний зв’язок вихідної та вхідної змінної:
або . (4.7)
• = - (4.8)
передавальна функція в операторній формі.
• З (4.7) випливає .
У лекції 5 передавальна функція буде розглянута детальніше.