Перетворення Лапласа та його основні властивості

В лекції 4 розглядалася модель одноканальної САК (4.1):

Застосовуючи оператор диференціювання була отримана передавальна функцієя в операторній формі (4.8):

= або

.

• Для знаходження розв’язку неоднорідного рівняння застосовують перетворення Лапласа.

• Перетворення Лапла́са — інтегральне перетворення, що зв'язує функцію комплексної змінної (зображення) F(s) з функцією дійсної змінної (оригінал) f(t).

• Пряме перетворення:

F(s) = L . (5.1)

• Зворотне перетворення:

f(t) = . (5.2)

F(s) - зображення функції f(t) за Лапласом або просто зображення, s=σ+jω.

f(t) - оригінал функції.

- оператор Лапласа, - зворотний оператор Лапласа.

 

Передбачається, що функція f(t), що піддається перетворенню Лапласа, має такі властивості:

• 1) функція f(t) визначена і кусково-дифференцируєма на інтервалі [0, ∞);

• 2) f(t) = 0 при t < 0;

• 3) існують такі позитивні числа с і М, що при .

 

З допомогою перетворення Лапласа досліджуються властивості динамічних систем і розв'язуються диференціальні і інтегральні рівняння

Властивості перетворення Лапласа

1. Лінійність .

2. Множення на число .

3. Множення зображень

4. Теорема про згортку. Перетворенням Лапласа згортки двох оригіналів є добуток зображень цих оригіналів:

.

Згорткою (англ. convolution) двохфункцій та ) називаютьвираз )= =

 

Диференціювання і інтегрування оригіналу

,

-…- ;

= .