Плотность распределения

Пусть имеется непрерывная случайная величина X с функцией распределения F(x), которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участках от x до X+∆X (т.е. приращение функции распределения на этом участке):

P(x<X<X+∆X)=F(X+∆X)-F(x)

Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке и будем приближать ∆X к нулю. В пределе получим производную от функции распределения

Введем обозначение: f(x)=F'(x)

Функция f(x) – производная функции распределения характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью вероятности или плотностью распределения непрерывной случайной величины X. Иногда функцию f(x) называют также «дифференциальной функцией распределения»или «дифференциальным знаком распределения» величины X. < Графически f(x) имеет вид >

Рисунок 8 – плотность распределения случайной величины

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.

Плотность распределения, так же и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной, она существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения f(x) и элементарный участок dX, примыкающей к точке X:

Рисунок 9

Вероятность попадания случайной величины X на этот элементарный участок равна f(x)·dx. Величина f(x)·dx – называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dx.

Найдем вероятность попадания величины X на отрезок от X до𝛽через плотность распределения.

Рисунок 10

Очевидно она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу:

Геометрически это означает, что вероятность попадания величины X на участок (𝛼;𝛽) равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок.

Выразим функцию распределения через плотность распределения. По определению: , откуда .

Геометрически F(x) есть не что иное, как площадь кривой распределения, лежащая левее точки X.

Рисунок 11