Формула полной вероятности

Допустим, что необходимо провести опыт об условиях которого можно сделать n - ичключающих друг друга предположения (гипотез):

H₁, H₂, …,H_n

Каждая гипотеза осуществляется случайным образом и представляет собой некоторое событие. Вероятности гипотез известны и равны:

P(H₁), P(H₂), …, P(H_n)

Рассматривается некоторое событие А, которое может появиться только вместе с одной из гипотез. Заданы условные вероятности события А при каждой из гипотез

Требуется найти вероятность события А. Для этого представим А как сумму n несовместных вариантов:

По правилу сложения вероятностей

По правилу умножения вероятностей

откуда

То есть безусловная вероятность события А в опыте с гипотетическими условиями вычисляется как сумма произведения вероятности каждой гипотезы на условную вероятность событий при этой гипотезе.

Пример:

Имеются 3 одинаковые урны. В первой – 2 белых и 3 черных шара; во второй – 4 белых и 1 черный; в третьей – з белых шара Найти вероятность того, что шар, в выбранной наугат урне, окажется белым.

Решение:

Событие А заключается в появлении белого шара. Рассмотрим 3 гипотезы:

Н₁ – выбрана первая урна;

Н₂ – выбрана вторая урна;

Н₃ – выбрана третья урна.

Условные вероятности при каждой из гипотез равны:

По формуле полной вероятности получаем:

Теорема гипотез (формула Бейеса)

Имеется полная группа несовместных гипотез

H₁, H₂, …,H_n

Вероятности этих гипотез известны и равны

P(H₁), P(H₂), …, P(H_n)

Произведен опыт, в результате которого наблюдается появление некоторого события А.

Спрашивается, как следует изменить вероятность гипотез в связи с появлением события А? По существу речь идет о том, чтобы найти условную вероятность для каждой гипотезы. Из теоремы умножения имеем:

Отсюда

Заменяя P(A) – формулой полной вероятности имеем:

Это формула Бейеса.

Пример:

Имеются 3 урны. В первой – 3 белых и 1 черный шар; во второй – 2 белых и 3 черных шара; в третьей – 3 белых шара. Некто подходит наугад к одной из урны и вынимает из нее шар, который оказался белый. Найти после опытные вероятности того, что шар вынут из первой, второй и третьей урн.

Решение:

Гипотезы

Н₁ – выбрана первая урна;

Н₂ – выбрана вторая урна;

Н₃ – выбрана третья урна.

Так как урна выбирается наугад, то априорные вероятности этих гипотез равны

В результате опыта произошло событие А – из какой-то урны вынут белый шар. Условные вероятности события А при гипотезах Н₁, Н₂ и Н₃: