Теорема умножения вероятности

Пусть проводится опыт со случайным исходом, в результате которого могут произойти (или не произойти) какие-то события А и В. Условной вероятностью события В, при наличии А называется величина:

При этом .

На практике эту формулу обычно читают в обратном порядке, поэтому ее записывают в следующем виде:

То есть вероятность произведений двух событий равна вероятности одного из них, умноженная на условную вероятность второго, при наличии первого.

Очевидно, что не важно, какое событие выбрать первым, а какое – вторым. Поэтому правило умножения вероятности можно записать и в виде:

Пример:

Из урны, содержащей 4 белых и 3 черных, шара вынимают (одновременно или последовательно) 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара – белые.

Решение:

Событие С является произведением двух событий А и В. . Где А – первый шар белый; В – второй шар белый. Найдем P(C) по формуле умножения вероятности:

Очевидно, что . Найдем . Для этого предположим, что событие А уже произошло, то есть первый шар – белый. После этого в урне осталось 6 шаров – из которых 3 белых.

В случае, когда события являются независимыми, то вероятность произведения таких событий равна произведению вероятности этих событий:

Пример:

Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех узлов, каждый из которых, независимо от других, может в течение времени t отказать (выйти из строя). Отказ хотя бы одного узла приводит к отказу прибора в целом. За время t надежность (ВБР) первого узла . Определить надежность прибора в целом.