Необхідна умова стійкості

• Вище була сформульована умова стійкості лінійної системи у вигляді вимоги до коренів характеристичного рівняння. Однак обчислення коренів рівняння високої степені викликає певні труднощі. Тому були виведені критерії стійкості, що дозволяють судити про стійкість або нестійкість системи безпосередньо по коефіцієнтах характеристичного рівняння без обчислення його коренів.

• Нехай характеристичне рівняння лінійної системи в розгорнутій формі має вигляд:

Доведемо, що необхідною умовою стійкості є додатність усіх коефіцієнтів характеристичного рівняння, тобто:

якщо

Для доведення розкладемо ліву частину характеристичного рівняння на множники:

Нехай усі його корені мають від’ємні дійсні частини:

,

Поставивши їх у рівняння, одержимо:

.

Оскільки середні два співмножники дають:

то видно, що після перемноження усіх дужок отримаємо у рівнянні тільки додатні коефіцієнти. Це і необхідно було довести.

• Для того, щоб система була стійка, необхідно, щоб всі коефіцієнти її характеристичного рівняння були строго одного знаку:

або

• У загальному випадку додатність коефіцієнтів рівняння недостатня для стійкості системи. Додатні коефіцієнти рівняння можуть вийти і при додатних дійсних частинах комплексних коренів.