Критерій стійкості А.В.Михайлова

Розглянемо систему керування:

. (14.1)

Характеристичне рівняння:

=0. (14.2)

Після підстановки розглянемо величину (характеристичний комплекс)

. (14.3)

Після деяких перетворень можна записати (для випадку n –парне)

,

,

.

Зобразимо величину на комплексній площині - у вигляді радіус-вектора (для певного значення ). Його кінець при зміні від - ∞ до +∞ описує криву – годограф Михайлова.

Оскільки до складу входять лише парні степені , то крива симетрична щодо вісі .

 

jω   Pi P-Pi Arg P 0 α

jω P3 jω-P2 P2 jω-P3 jω-P1   P1 0 α

Відповідно до основної теореми алгебри всякий багаточлен n -го степеня може бути зображений у вигляді добутку двочленів:

, (14.4)

де - корені рівняння (14.1).

• Модуль величини (14.4):

• Її аргумент:

+ .

• Якщо всі корені знаходяться ліворуч від уявної вісі, то зміна аргументу кожного із співмножників при зміні від -∞ до +∞ буде дорівнювати π (будемо вважати додатнім напрямок обертання вектора проти годинникової стрілки), а повна зміна аргументу буде дорівнювати nπ, де n - вища степінь багаточлена.

• Якщо всі корені знаходяться праворуч від уявної вісі, то зміна аргументу кожного співмножника при зміні від -∞ до +∞ буде дорівнювати -π (вектор робить поворот за годинниковою стрілкою), а повна зміна аргументу буде дорівнювати -nπ.

• Нехай праворуч від уявної вісі знаходиться m коренів. Отже, ліворуч їх буде n-m. Зміна від -∞ до +∞ викликає повну зміну аргументу на величину:

Таким чином, звідси випливає принцип аргумента.

• Зміна аргументу вектору при зміні частоти від -∞до +∞ дорівнює різниці між числом лівих і правих коренів рівняння =0, домноженій на .

• Якщо частота змінюється від 0до +∞, то зміна аргумента вдвічі менше:

.

Таким чином, про стійкість системи можна судити по збільшенню аргументу. Крива являє собою симетричну криву щодо вісі абсцис, тому можна змінювати частоту від 0до +∞.

Для того щоби лінійна система автоматичного керування, що має характеристичне рівняння n -го порядку, була стійкою, необхідно і достатньо, щоби при зміні від 0 до +∞ повна зміна аргументу вектора дорівнювала

.

Або:

Для стійкості системи необхідно і достатньо, щоб годограф Михайлова при зміні від 0 до +∞ починався на дійсній осі в точці і проходив послідовно проти годинникової стрілки n квадрантів, не звертаючись в нуль і прагнучи до ∞ в n -ому квадранті.

• Іншими словами, крива Михайлова повинна бути розташована так, щоб послідовно перетинати n квадрантів.

• На рис.а зображені криві Михайлова для стійких систем від першого до п'ятого порядків. Криву Михайлова для стійкої системи називають правильною.

• На рис.б, в показані криві Михайлова для стійкої і нестійкої систем четвертого порядку.

• При виводі критерію Михайлова не розглядалося розташування хоча б одного кореня на уявній вісі.

• Якщо вектор має множник () чи ) (рис.б) а, отже, обертається в нуль на початку координат і в спряжених точках . Аргумент нульового вектора невизначений. Для того щоб внести визначеність, умовимося:

при русі точки уздовж уявної вісі обходити всі корені, що знаходяться на ній, праворуч по дузі окружності нескінченно малого радіуса. Таким чином, корені на уявній вісі мов би зараховують до коренів лівої напівплощини з нескінченно малою від’ємною дійсною частиною. Формулювання критерію зберігається і при розташуванні коренів на уявній вісі.