Внутрішня стійкість (математична стійкість)

План лекції

8.1. Поняття стійкості лінійних систем.

8.2. Види стійкості.

8.3. Основна умова стійкості.

8.4. Необхідна умова стійкості.

Поняття стійкості лінійних систем

Стійкість систем автоматичного керування є однією з найважливіших умов її працездатності, тому що стійкість містить у собі вимогу загасання перехідних процесів у часі.

 

Будемо розглядати стійкість лінійних (лінеаризованих) систем.

 

Під стійкістю системи розуміється здатність її повертатися до стану сталої рівноваги після зняття збурення, що порушило цю рівновагу. Нестійка система безперервно віддаляється від рівноважного стану або здійснює навколо нього коливання із зростаючою амплітудою.

 

Стійкість системи автоматичного керування (САК) - здатність САК нормально функціонувати і протистояти різним неминучим збуренням (впливам). Стан САК називається стійким, якщо відхилення від нього залишається як завгодно малим при будь-яких досить малих змінах вхідних сигналів.

 

Стійкість лінійної системи визначається не характером обурення, а структурою самої системи. Кажуть, що система стійка "в малому", якщо визначений факт наявності стійкості, але не визначені її межі. Система стійка "у великому", коли визначені межі стійкості і те, що реальні відхилення не виходять за ці межі.

 

Під стійкістю лінійної системи розуміють властивість загасання перехідного процесу з часом, інакше кажучи, – наступна властивість власного (вільного) руху системи: при

 

Види стійкості

 

Стійкість «вхід-вихід»

Зазвичай для інженерів-практиків в першу чергу важливо, щоб система не «пішла в рознос», тобто, щоб керована величина не росла необмежено при всіх допустимих вхідних сигналах. Якщо це так, кажуть, що система має стійкість «вхід-вихід», тобто при обмеженому вході вихід також обмежений. Зауважимо, що при цьому нас не цікавить, як змінюються внутрішні змінні об'єкта, важливий тільки вхід і вихід.

Розглянемо ванну, яка наповнюється водою з крана. Модель цієї системи - інтегруюча ланка. При постійному (обмеженому за величиною) вхідному потоці рівень води у ванні буде необмежено збільшуватися (поки вода не поллється через край), тому така системі не володіє стійкістю «вхід-вихід».

 

Технічна» стійкість

На відміну від стійкості «вхід-вихід», поняття «технічна стійкість» відноситься до автономної системи, у якій всі вхідні сигнали дорівнюють нулю.

 

Положенням рівноваги називають стан системи, яка знаходиться у спокої, тобто, сигнал виходу y(t) - постійна величина, і всі його похідні дорівнюють нулю. Систему виводять з положення рівноваги і прибирають всі збурення. Якщо при цьому з плином часу (при t → ∞,) система повертається в положення рівноваги, вона називається стійкою. Якщо вихідна координата залишається обмеженою (не йде в нескінченність), система називається нейтрально стійкою, а якщо вихід стає нескінченним – нестійкою

 

Якщо повернутися до прикладу з ванною, стає зрозуміло, що ця система - нейтрально стійка, тому що рівень води залишається постійним, коли ми перекриємо кран. З одного боку, рівень води не повертається до попереднього значення, а з іншого - не зростає нескінченно (система не є нестійкою).

 

Внутрішня стійкість (математична стійкість)

Більш досконалі визначення стійкості були введені А. М. Ляпуновим

 

Система (рівноважний стан х* = 0) називається стійкою за Ляпуновим, якщо для будь-якого ε>0 знайдеться δ (ε)> 0 таке, що для всіх початкових значень з області <δ і для будь-яких t> 0 виконується умова | x (t, ) | <ε.

Якщо крім того вектор стану прагне до положення рівноваги, тобто,

(x (t) - x *) → 0 при t → ∞, то система. називається асимптотично стійкою в положенні рівноваги x*.

 

Очевидно, що асимптотична стійкість - більш сильне вимога. Положення рівноваги, які стійкі за Ляпуновим, але не асимптотично стійкі, іноді називаються нейтрально стійкими (маятник без тертя, ванна з водою).

 

Положення рівноваги нестійке, якщо для нього не виконується умова стійкості Ляпунова. Це означає, що існує таке ε> 0, що траєкторія x (t) виходить за межі області x(t)-x* <ε при як завгодно малому відхиленні початкового стану від положення рівноваги x*. Наприклад, система переходить в інше положення рівноваги, або x(t) необмежено зростає.

 

Говорячи про внутрішню стійкості, розглядають не тільки вихід, але і всі змінні, які описують стан системи

 

 

В математичній теорії систем вектор стану позначають через x(t), а рівняння руху системи записують у вигляді (модель ВСВ):

 

Стійкість означає, що всі рухи x(t), які починаються близько від положення рівноваги x *, при всіх t залишаються в деякій околиці x*. Краще, якщо система не просто стійка, а ще й повертається в положення рівноваги, тобто, x(t) прагне до x* при t → ∞, (асимптотична стійкість).

На малюнку показані рухи стійкої (1), асимптотично стійкої (2) і нестійкої (3) систем. Для простоти передбачається, що положення рівноваги x * - це початок координат.

Стійкість визначається для деякого положення рівноваги. Для нелінійної системи може бути кілька положень рівноваги, причому деякі з них можуть бути стійкі, а деякі - ні. В положенні рівноваги всі похідні дорівнюють нулю.

 

 

Технічна стійкість	Математична стійкість
Система нейтральна	Система стійка за Ляпуновим
Система стійка	Система асимптотично стійка
Система нестійка	Система нестійка