Нехай корінь характеристичного рівняння (8.3) – комплексне число

Комплексні корені завжди є комплексно спряженими. Позначимо ці корені так:

Тоді розв’язки однорідного рівняння матимуть вигляд:

 

З математики відомо, що коли – є розв’язком рівняння, то і їх сума також буде розв’язком цього рівняння:

 

 

або після деяких перетворень:

 

• Розв’язком рівняння є функція, яка має два множники: перший - це експонента аналогічна, як і в випадку дійсного кореня, другий – гармонічна функція cos(βt). Ми маємо періодичні коливання cos(βt), амплітуда яких змінюється за законом .

• Якщо α < 0, то амплітуда коливань з часом зменшується, якщо α >0, то вона збільшується і при α=0 – лишається постійною.

 

 

Основна умова стійкості:

САК є стійкою, коли її характеристичне рівняння має корені з від’ємною дійсною частиною.

Коли хоча б один з коренів характеристичного рівняння системи має додатну дійсну частину, то система є нестійкою, а якщо один з коренів має дійсну частину, рівну нулю, то система знаходиться на межі стійкості.

Якщо розглядати корені характеристичного рівняння як точки на комплексній площині то умова стійкості формулюється таким чином:

Необхідною і достатньою умовою стійкості САК є розміщення всіх коренів її характеристичного рівняння у лівій частині комплексної площини.

Зображення коренів на комплексній площині:

Теореми Ляпунова.

1. Якщо всі корені характеристичного рівняння лінеаризованої моделі є лівими, то незбурений рух відповідної нелінійної системи - асимптотично стійкий.

2. Якщо серед коренів характеристичного рівняння лінеарізованої моделі є правий корінь, то незбурений рух відповідної нелінійної системи - нестійкий.

3. Випадок, коли серед коренів характеристичного рівняння лінеаризовані моделі є нейтральні корені (корені на уявній осі), але немає правих коренів, називають, критичним. У критичному випадку по лінеаризованій моделі не можна судити про стійкість незбуреного руху нелінійної системи.