Основна умова стійкості

Будемо вважати, що система описується диференціальним рівнянням (y – вихідна змінна, u – керуюча змінна, f – збурення):

(8.1)

В операторній формі:

(8.2)

 

Загальне рішення рівняння (8.1) має вигляд

(8.3)

де - частинне рішення рівняння (8.1), - загальне рішення відповідного однорідного рівняння.

Загальне рішення однорідного рівняння описує вільний рух системи управління (тобто рух за відсутності зовнішних впливів), який визначається тільки початковими умовами.

Частинне рішення описує вимушений рух, обумовлений зовнішніми впливами.

• Характеристичне рівняння для (8.1) має вигляд

(8.4)

якщо вважати, що р - довільна змінна.

Корені характеристичного рівняння дозволяють знайти , тобто визначають вільний рух системи:

.

Для n=2: . (8.5)

• Характеристичне рівняння – це алгебраїчне рівняння, яке відповідає однорідному диференційному рівнянню. Його можна одержати шляхом використання підстановки Ейлера в однорідне диференційне рівняння.

• Якщо відома передавальна функція, то характеристичне рівняння можна отримати прирівнявши характеристичний поліном (знаменник дробу) нулю.

Розглянемо окремо можливі значення коренів і одержимо умову стійкості САК.

 

1. Нехай корінь рівняння (8.3) – дійсне число.

Позначимо його літерою :

1-й випадок < 0.

Якщо < 0, то можна записати, що: = . Підставимо в (8.4), і матимемо розв’язок однорідного рівняння у вигляді:

 

З бігом часу t → ∞розв’язок рівняння спадає до нуля.

Графік його показано на рисунку.

Це свідчить, що система прагне до певного сталого стану, тобто система стійка.

 

2-й випадок 0.

 

Якщо: < 0, то: = Підставимо в (8.4), і матимемо розв’язок однорідного рівняння у вигляді:

.

З бігом часу t → розв’язок рівняння збільшується.

 

 

Графік функції,яка відповідає розв’язку рівняння показано на рисунку.

З часом значення величин y(t) зростає до нескінченності.

Це свідчить, що система є нестійкою.

 

3-й випадок

 

Підставимо в (8.4), і матимемо: .

Вихідна величина залишається постійною. Графік розв’язку рівняння показано на рисунку. Тут ми маємо систему на межі стійкості.

 

Висновок:

У випадку дійсного кореня, коли корінь рівняння менше нуля, система є стійкою, коли корінь дорівнює нулю – система знаходиться на межі стійкості, а коли корінь більше нуля – система нестійка