Кручение стержней некруглого поперечного сечения

Для стержней произвольного некруглого поперечного сечения нельзя получить элементарное решение, подобное изложенному выше. В этом случае оказывается неверной гипотеза плоских сечений. Точки поперечного перемещения получают разные перемещения в направлении оси стержня, и сечения искривляются (депланируют). Характер распределения касательных напряжений более сложный,чем в случае круглого стержня. Математически явление описывается дифференциальным уравнением в частных производных - уравнением Пуассона.

Приведенные ниже результаты получены методом теории упругости. Для того, чтобы лучше представлять себе характер распределения касательных напряжений обратимся к некоторым закономерностям их распределения.

1. В точке поперечного сечения. Являющейся вершиной выступающего угла касательные напряжения равны нулю.

Докажем это. Допустим, что в угловой точке имеется отличное от нуля касательное напряжение . Разложим его на составляющие. Направленные по нормали к дугам в точке пересечения и . Тогда на боковой поверхности по закону парности касательных напряжений должны быть равные им напряжения. Однако. Боковая поверхность свободна от напряжений.

2. Касательное напряжения в точках контура направлено по

касательной к контуру.

Доказательство аналогично предыдущему.

Если касательное напряжение направлено не по касательной, то должна быть нормальная составляющая , но последняя равна нулю ввиду парности касательных напряжений.

3. Мембранная аналогия.

Явление кручения стержня описывается тем же дифференциальным уравнением, что выпучивание тонкой мембраны, натянутой на контур сечения и находящейся под действием нормальной нагрузки.

Таким образом, эти разные явления аналогичны. Объем, ограниченный выпученной пленкой и плоскостью сечения аналогичен крутящему моменту, возникающему в сечении. Аналогом касательного напряжения является тангенс угла линии наибольшего ската в данной точке.

Замети, что поперечная нагрузка к мембране прикладывается в тех местах сечения, где есть материал. В местах пустых полостей нагрузка не прикладывается.