Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера выведена в предположении, что материал линейно упруг, и, естественно, применима в тех случаях пока справедлив закон Гука.

Придадим формуле (3) иной вид.

Введем понятие критического напряжения, т.е. напряжения соответствующего критической силе

но

где - минимальный радиус инерции сечения.

Введем еще одну величину – гибкость стержня

тогда

Тогда можно сказать, что формула Эйлера справедлива, если критические напряжения не превышают предела пропорциональности при

сжатии.

Выясним, при каких гибкостях можно использовать формулу Эйлера.

Приравняем в (4)

Если то можно использовать формулу (3).

Для малоуглеродистых сталей, особенно часто используемых для сжатых элементов: тогда

т.е. для малоуглеродистых сталей формулу Эйлера можно использовать при гибкостях больших 100.

Приведенное выше решение пригодно только для сравнительно длинных и тонких стержней. В случае более коротких и жестких стержней потеря устойчивости происходит при возникновении пластических деформаций, и задача требует специального рассмотрения. Существуют решения (Т.Карман, Энгессер) об устойчивости стержня за пределами упругости. Иногда прибегают к эмпирическим формулам типа формулы Ясинского где

и - константы, зависящие от свойств материала.