Устойчивость сжатых стержней

Понятие устойчивости равновесного состояния

деформируемой системы.

Не все теоретически возможные равновесные формы могут быть реализованы в действительности. Реальный объект всегда отличается от расчетной схемы. Всегда имеются неучтенные в расчетной схеме силы, реальная геометрическая форма всегда отклоняется от проектной. Имеются отклонения в свойствах материалов от того, что предусматривалось проектом и т. д. В некоторых случаях эти, казалось бы второстепенные факторы могут привести к тому, что теоретически возможное состояние практически становится неустойчивым.

Например, никто не видел следующей картины: идеально прямой карандаш стоит строго вертикально на горизонтальном идеально гладком стекле. В этом случае реакция опорной поверхности направлена строго вертикально и равняется весу карандаша. Две равные по величине действующие по одной прямой и направленные в противоположные стороны силы, должны уравновешиваться, однако данное равновесное состояние реализовать в действительности невозможно. Помимо веса карандаша и реакции поверхности будут действовать и другие силы, например силы обусловленные движением воздуха, карандаш не будут строго прямолинейным, а поверхность стекла совершенно горизонтальной и идеально гладкой и т. д.

Будем называть неучтенные силы, отклонения в геометрической форме и т. д., возмущениями.

Определение: будем называть равновесное состояние устойчивым, если оно мало изменяется при малых возмущениях.

Приведем некоторые примеры.

1. Тяжелый шар на поверхности, имеющий вершины, впадины и горизонтальные участки.

В том случае, когда шарик находится на вершине составляющая силы тяжести Т, возникающая при его отклонении, уводит его от первоначального состояния, для шарика, находящегося во впадине сила Т будет возвращать отклоненный шарик в первоначальное состояние и он будет колебаться в окрестности наиболее низкой точки впадины, т. е. при малых отклонениях состояние шарика будет также меняться мало. Случай шарика, находящегося на горизонтальной поверхности, будет случаем, разграничивающим рассмотренные выше неустойчивые и устойчивые равновесные состояния.

Такое состояние называется безразличным

2. Картину разрушения образца при при растяжении с образованием шейки можно характеризовать, как потерю устойчивости цилиндрической формы образца.

По мере приближения состояния образца к точке С цилиндрическая форма образца становится неустойчивой, образуется шейка и малым изменениям силы соответствуют значительные изменения конфигурации системы.

3. Центрально сжатый гибкий стержень

Предполагается, что стержень идеально прямой, а сила приложена строго по оси (что, конечно, практически невозможно). Для того, чтобы судить устойчиво ли данное равновесное состояние, надо приложить горизонтальную возмущающую силу, которая вызовет прогиб. Если сила F невелика, то прогиб окажется малым, равновесное состояние (прямолинейное) практически не изменится.

Однако, если сила F превысит некоторое значение называющееся критическим , то равновесное состояние становится неустойчивым, т. е. любые малые возмущения приведут к значительным прогибам. Зависимость между силами и прогибом показана на рисунке. пунктирной линией показано действительное поведение стержня, которое можно обнаружить с помощью нелинейных решений, сплошной чертой показано грубое, линейное решение задачи.

Задача Эйлера

Рассмотрим центрально сжатый шарнирно закрепленный с обоих концов стержень. Необходимо для этого стержня найти критическую силу. Эта задача была решена Эйлером.

Существо задачи состоит в том, что задача об устойчивости по

отношению к заданному возмущению подменяется задачей о возможности существования двух различных форм равновесия при одном и том же значении силы F. Очевидно, что прямолинейная равновесная форма возможна (v = 0).

Допустим, что наряду с прямолинейной равновесной формой возможна и криволинейная равновесная форма, показанная на рисунке.

Кривизна стержня на основании закономерности известной из теории изгиба выразится

Будем полагать, что угол поворота v ’ – величина малая по сравнению с единицей и тем более мал квадрат этой величины по с равнению с единицей, тогда

Изгибающий момент в произвольном сечении координатой z (знак минус увязывает знак прогиба и момента).

Дифференциальное уравнение изогнутой оси выглядит

или , где (1)

Решение этого дифференциального уравнения, как известно

Из граничных условий попробуем найти произвольные постоянные и

1) при z = l v =0

2) при z = 0 v =0

Возможны две ситуации

. Откуда v = 0, т.е. получаем прямолинейную равновесную форму

подставим в (1) выражение , откуда

найдем выражение силы, при которой помимо прямолинейной равновесной формы, появляется сложная криволинейная равновесная форма

реальный смысл имеет наименьшее значение силы

при Эйлерова сила – критическая сила

Очевидно, что - минимальный момент инерции.

Потеря устойчивости будет происходить по синусоиде ,

Однако, произвольную мы так и не смогли найти. Дело в том, что задача о потере устойчивости – задача существенно нелинейна, а мы поступили непоследовательно. С одной стороны мы подошли к задаче как нелинейной, отойдя от принципа начальных размеров, и определив изгибающий момент с учетом изгиба стержня. С другой стороны приняв приближенное выражение для кривизны, мы линеарезовали задачу. Для того чтобы определить прогибы в закретической стадии надо исходить из нелинейного дифференциального уравнения.

Однако, главная цель – определение критической силы для стержня нами достигнута.