Энергетический способ определения критической силы

В сколько- нибудь сложных случаях, получить критическую силу из решения дифференциального уравнения изогнутой оси сжатого стержня затруднительно.

Поэтому в подобной ситуации проще получить приближенное решение, например, энергетическим методом.

Рассмотрим стержень центрально сжатый силой Р. Условно на рисунке стержень показан шарнирно опертым, но вопрос о граничных

условиях пока оставим открытым. Пусть сила F меньше эйлеровой критической силы. Если приложить к стержню некоторую поперечную нагрузку Q, то стержень изогнется, но будет находиться в устойчивом равновесном состоянии.

Сжимающая сила совершит при этом работу на перемещении , которое можно найти следующим образом.

Укорочение малого элемента длиной будет равно

Учтем, что , тогда

Потенциальная энергия деформации изогнутого стержня

Здесь учтено, что

Изменение полной энергии при малом изгибе будет

Если , то стержень устойчив, если же ,т.е. , то сила производит работу большую, чем может накопиться в стержне в виде энергии упругой деформации, избыточная работа идет на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение и прогибается дальше. Т.е. он неустойчив. Очевидно, что когда сила достигает критического значения, то или