Экстремумы функций двух переменных. Необходимое и достаточное условие экстремума

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.

Пусть функция определена в некоторой области

Определение. Точка называется точкой минимума функции если существует такая d-окрестность точки что для всех точек , отличных от из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение. Точка называется точкой максимума функции если существует такая d-окрестность точки что для всех точек , отличных от из этой окрестности выполняется неравенство .

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).

В силу определения точки экстремума функции лежат внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный характер: значение функции в точке сравнивается с ее значением в точках, достаточно близких к этой точке. В области определения функции может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если – точка экстремума дифференцируемой функции , то ее частные производные в этой точке равны нулю: .

Обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Иными словами, если известно, что в некоторой точке частные производные равны нулю, то это еще не значит, что там есть экстремум. Его там может и не быть.

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция :

а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ;

б) имеет непрерывные частные производные второго порядка

Тогда,

если , то функция в точке имеет экстремум:

максимум, если А<0;

минимум, если А>0;

если , то функция в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым, необходимы дополнительные исследования.

Алгоритм исследования функции на экстремум.

1. Найти частные производные первого порядка и ;

2. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка:

4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.

5. Найти экстремумы функции.

Пример. Найти экстремумы функции

Решение.

1. Находим частные производные первого порядка:

2. Для определения критических точек решаем систему уравнений:

Из первого уравнения системы выразим одну из переменных: и подставим найденное значение y во второе уравнение, получим:

Таким образом, имеем две критические точки: и .

3. Вычисляем частные производные второго порядка:

4. Вычисляем значение частных производных второго порядка в каждой критической точке:

Для точки имеем:	Для точки имеем:
Так как то в точке экстремума нет.	Так как то в точке функция имеет минимум.

5. Находим значение функции в точке :

.