Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной.
Пусть функция определена в некоторой области
Определение. Точка называется точкой минимума функции если существует такая d-окрестность точки что для всех точек , отличных от из этой окрестности выполняется неравенство .
Определение. Точка называется точкой максимума функции если существует такая d-окрестность точки что для всех точек , отличных от из этой окрестности выполняется неравенство .
Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).
В силу определения точки экстремума функции лежат внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный характер: значение функции в точке сравнивается с ее значением в точках, достаточно близких к этой точке. В области определения функции может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
|
|
Теорема (необходимое условие экстремума). Если – точка экстремума дифференцируемой функции , то ее частные производные в этой точке равны нулю: .
Обратное утверждение справедливо далеко не всегда. Иными словами, если известно, что в некоторой точке частные производные равны нулю, то это еще не значит, что там есть экстремум. Его там может и не быть.
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь.
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция :
а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ;
б) имеет непрерывные частные производные второго порядка
Тогда,
если , то функция в точке имеет экстремум:
максимум, если А<0;
минимум, если А>0;
если , то функция в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым, необходимы дополнительные исследования.
Алгоритм исследования функции на экстремум.
1. Найти частные производные первого порядка и ;
2. Решить систему уравнений и найти критические точки функции.
3. Найти частные производные второго порядка:
4. Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.
5. Найти экстремумы функции.
Пример. Найти экстремумы функции
Решение.
1. Находим частные производные первого порядка:
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений:
Из первого уравнения системы выразим одну из переменных: и подставим найденное значение y во второе уравнение, получим:
|
|
Таким образом, имеем две критические точки: и .
3. Вычисляем частные производные второго порядка:
4. Вычисляем значение частных производных второго порядка в каждой критической точке:
Для точки имеем: | Для точки имеем: |
Так как то в точке экстремума нет. | Так как то в точке функция имеет минимум. |
5. Находим значение функции в точке :
.