Пусть в области задана функция двух переменных: у которой переменные u и v в свою очередь являются функциями переменных x и y:
заданными в области .
Тогда z является сложной функцией независимых переменных x и y с промежуточными переменными u и v:
Рассмотрим задачу нахождения частных производных этой сложной функции. Пусть точка , и функции j и y, переводят ее в точку :
Теорема. Пусть выполняются три условия:
1.В окрестности точки существуют частные производные непрерывные в самой точке .
2. В точке существуют частные производные
3. Функции непрерывны в точке .
Тогда в точке существуют частные производные сложной функции , и для них справедливы формулы:
или в другой записи:
Так как общие формулы производных сложных функций имеют громоздкий вид, рассмотрим общий принцип нахождения этих производных на примере.
Пример 1
Дана сложная функция , где . Найти её производную и записать полный дифференциал 1-го порядка.
Решение:
1) Дана функция, зависящая от x и y, которые в свою очередь являются функциями одной переменной:
|
|
2) Требуется найти не частные производные. Так как функция фактически зависит только от одной переменной, то под словом «производная» подразумевается полная производная
Конечно можно выполнить прямую подстановку и взять производную функции одной переменной, т.е.
Подставить в функцию :
И, соответственно, полный дифференциал:
Это решение математически корректно, но выполненная подстановка дает лишь частную информацию о функции, к тому же, формулировка задачи предполагает использование универсальной формулы:
Подставим найденные производные в нашу формулу:
Когда функция изначально предложена в замысловатом виде, то логично оставить в таком же виде и результаты:
4.3.7 Инвариантность формы первого дифференциала.
В том случае, когда x и y являются независимыми аргументами функции , была установлена следующая форма ее дифференциала:
В случае, если z зависим от x и y сложным образом, т. е. через посредство некоторых функций, т.е. , то частные производные будут выражаться по формулам:
При этом оказывается, что форма дифференциала не изменится, если его выразить только через u и v и их дифференциалы, т. к. имеет место теорема об инвариантности формы первого дифференциала функции многих переменных.
Теорема. Дифференциал функции сохраняет один и тот же вид независимо от того, являются ли ее аргументы независимыми переменными или функциями от независимых переменных.