Частные производные первого порядка и их геометрических смысл

Аналогично вводится частное приращение этой функции по переменной y:

Полное приращение функции определяется равенством

Если существует предел

то он называется частной производной функции в точке по переменной x и обозначается одним из следующих символов:

Аналогично частная производная функции по переменной y определяется как предел:

Она обозначается как

Согласно с определением, при нахождении частной производной находят обыкновенную производную функции одной переменной x считая переменную y постоянной, а при нахождении производной постоянной считается переменная x.

Следовательно, частные производные находятся по формулам и правилам дифференцирования функции одной переменной.

Частная производная характеризует скорость изменения функции в направлении оси Ox, – в направлении оси Oy.

Выясним геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Геометрическим образом (графиком) функции является некоторая поверхность. Графиком функции является линия пересечения этой поверхности с плоскостью Исходя из геометрического смысла производной функции одной переменной, получаем, что, где a – угол между осью Ox и касательной, проведенной к пространственной кривой в точке Аналогично, где b – угол между осью Oy и касательной, проведенной к пространственной кривой (линии пересечения поверхности с плоскостью ) в точке

Приведем примеры вычисления частных производных первого порядка.

Пример 1. Найти частные производные функции

Решение.

1.Считаем переменную y константой и применяем правила дифференцирования:

2. Используем табличные производные:

3. Теперь считаем переменную х константой и применяем те же правила дифференцирования и табличные производные:

Пример 2. Найти частные производные функции

Решение.

1.Считаем переменную y константой и применяем правила дифференцирования:

2. Используем табличные производные:

3. Теперь считаем переменную х константой и применяем те же правила дифференцирования и табличные производные :

Пример 3. Найти частные производные функции

Решение.

1. Считаем переменную y константой, применяем правило дифференцирования сложной функции, правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличные производные корня и степенной функции:

2. Теперь считаем переменную х константой и применяем те же правила дифференцирования и табличные производные: