2017-10-31
11852
Определение. Частными производными второго порядка от функции 
называются частные производные от ее частных производных первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка:
Аналогично определяются частные производные 3-го и 4-го и т.д. порядков.
Так 
и т.д.
Частная производная второго и более высокого порядка, взятая по различным переменным называется смешанной частной производной.
Теорема.
Смешанные производные второго порядка равны, если они непрерывны 
Следствие.
Смешанные производные высших порядков равны, если непрерывны и получены по одним и тем же переменным одинаковое число раз, но может быть в разной последовательности.
Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверять правильность нахождения частных производных первого порядка.
Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции 
Решение.
1.Считаем переменную y константой, применяем правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную степенной функции:
|
|
|
2. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «икс», т.е. найдем вторую производную по «икс»:
3.Считаем переменную х константой, применяем правило дифференцирования суммы, правило вынесение постоянного множителя за знак производной и табличную производную степенной функции:
4. Полученную функцию еще раз продифференцируем по «игрек», т.е. найдем вторую производную по «игрек»:
5. Найдем смешанную производную «икс по игрек». Для этого первую производную по «икс» продифференцируем по «игрек».
5. Найдем смешанную производную «игрек по икс». Для этого первую производную по «игрек» продифференцируем по «икс».
Пример 2. Найти частные производные первого порядка функции 
Проверить, что 
Решение.
1.Найдем частные производные первого порядка, применяя правила вычисления производной произведения, суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и табличные интегралы тригонометрических функций:
2. Найдем смешанные производные второго порядка:
