Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области D. Пусть в этой области заданная функция имеет конечные частные производные первого порядка (за исключением, быть может, конечного количества точек). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в данной замкнутой области необходимо:

1. Найти критические точки функции , принадлежащие области D. Вычислить значения функции в критических точках.

2. Исследовать поведение функции на границе области D, найдя точки возможного наибольшего и наименьшего значений. Вычислить значения функции в полученных точках.

3. Из значений функции, полученных в предыдущих двух пунктах, выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в ограниченной замкнутой области

Решение.

1) Изобразим заданную область на чертеже:

2) Найдём стационарные точки. Для этого вычислим частные производные первого порядка, приравняем к нулю и решим систему двух уравнений с двумя переменными:

Найденная стационарная точка принадлежит области

Отметим точку на чертеже и вычислим значение функции в этой точке:

3) Исследуем границу области (на чертеже постепенно отмечаем появляющиеся в ходе исследования точки):

Поскольку граница состоит из сторон треугольника, сначала рассмотрим отрезки, параллельные координатным осям, и в первую очередь – лежащие на самих осях.

Рассмотрим нижнюю сторону треугольника. Отрезок лежит на оси Ox, следовательно, все «игреки» точек отрезка равны нулю:

Геометрически это означает, что координатная плоскость xOz (которая тоже задаётся уравнением ) «высекает» из поверхности «пространственную» параболу , вершина которой попадает под подозрение. Выясним, где она находится:

– полученное значение «попало» в область, и вполне может оказаться, что в точке функция достигает наибольшего либо наименьшего значения во всей области D. Находим значение функции в этой точке:

«Подозрительными» являются и концы отрезка. Вычислим значения функции в точках и :

Для исследования правой стороны треугольника подставляем в функцию

– полученное значение тоже попадает в область, а значит, нужно вычислить, чему равна функция в точке :

Исследуем второй конец отрезка :

Для исследования стороны подставим в функцию и упростим:

Подставляя в уравнение прямой получим ординату точки и находим соответствующее значение функции:

Итак,

Из всех найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее значения:

Геометрический смысл результата заключается в следующем:

– самая высокая точка поверхности в области D;

– самая низкая точка поверхности в области D.