2018-01-21
452
Розглянемо один з методів побудови розв’язку систем з сталими коефіцієнтами. Розв’язок системи шукаємо у вигляді вектора 
. Підставивши в систему диференціальних рівнянь, одержимо
Скоротивши на 
, і перенісши всі члени вправо, запишемо
Отримана однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь має розв’язок тоді і тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто 
.Це рівняння, може бути записаним у векторно-матричній формі 
і воно називається характеристичним (чи віковим) рівнянням. Розкриємо його 
. Алгебраїчне рівняння 
-го ступеня має -коренів. Розглянемо різні випадки.
1. Всі корені характеристичного рівняння 
(власні числа матриці 
) дійсні і різні. Підставляючи їх по черзі в систему алгебраїчних рівнянь 
, ненульові розв’язки системи 
, 
, …, 
що являють собою власні вектори, які відповідають власним числам 
, 
.
У такий спосіб одержимо - розв’язків 
, 
, …, 
...
Причому оскільки -різні а 
- відповідні їм власні вектори, то розв’язки 
- лінійно незалежні, і загальний розв’язок системи має вигляд 
. Або у векторно - матричної формі запису 
, де 
- довільні сталі.
2. Нехай 
пара комплексно спряжених коренів. Візьмемо один з них, наприклад 
.Комплексному власному числу відповідає комплексний власний вектор
і, відповідно, розв’язок 
Використовуючи залежність 
, перетворимо розв’язок до вигляду:
.
І, як випливає з властивості 4 розв’язків однорідних систем, якщо комплексна функція 
дійсного аргументу є розв’язком однорідної системи, то окремо дійсна і уявна частини також будуть розв’язками, тобто комплексним власним числам 
відповідають лінійно незалежні розв’язки
, 
.
- Якщо характеристичне рівняння має кратний корінь
кратності 
, тобто 
, то розв’язок системи рівнянь має вигляд 
. Підставивши його у вихідне диференціальне рівняння і прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях, одержимо 
- рівнянь, що містять - невідомих. Тому що корінь характеристичного рівняння має кратність , то ранг отриманої системи 
. Уводячи довільних сталих 
і розв’язуючи систему, одержимо 
, , 
.
