Визначення сили тиску і центра тиску на тверду плоску стінку, що занурена в рідину під кутом до горизонту

Як відомо сила тиску на дно місткості (рис.13) дорівнює добутку тиску на одиницю площі дна на саму площу дна. Оскільки Н величина однакова по всій площі дна, то сила тиску на дно визначається: , де , – глибина занурення центра ваги дна підрівень вільної поверхні.

Тоді

Сила тиску на бокову стінку, яка занурена в рідину і розташована під кутом до горизонту α, визначається за формулою, що необхідно вивести (так як кожна точка на боковій стінці занурена на різну глибину під вільну поверхню рідини). Подумки витягнемо стінку (а б в г). до суміщення ребра вг з ребром аб, повернемо її навколо ребра аб і положимо на площину листа. Тоді будемо мати схему зображену на рис.14, де:

h_ц.в - глибина занурення центра ваги бокової стінки під рівень вільної поверхні.

l_ц.в. – положення центра ваги на стінці відносно вільної поверхні рідини;

F – площа стінки, що занурена в рідину (або змочена поверхня стінки);

dF – елементарна площа, кожна точка якої знаходиться на однаковій відстані від вільної поверхні рідини.

h – глибина занурення елементарної площі dF під рівень вільної поверхні;

Рис. 14

– елементарна сила, що діє на елементарну площу dF, занурену на глибину h під рівень вільної поверхні, тиск на якій р₀.

l – відстань елементарної площі dF до ребра «ав» стінки «абвг».

На кожну точку елементарної поверхні dF діє тиск стовпа рідини h. Тоді елементарна сила дорівнює:

,

з урахуванням дії тиску на вільну поверхню p₀, яка передається за законом Паскаля в кожну точку елементарної поверхні dF

Якщо поділити площу F на велику кількість елементарних площ, то на кожну елементарну площу dF буде діяти своя елементарна сила.

Тоді повна (результуюча) сила тиску Р на всю площу F буде

.

- статичний момент плоскої фігури відносно осі, яка не приходить через центр ваги. Він дорівнює добутку площі стінки F на l_ц.в відстань центру ваги цієї площі до верхнього ребра стінки ав.

Тоді

при р₀=р_ат (39)

Тобто, сила тиску на плоску стінку, занурену під кутом до горизонту дорівнює добутку площі цієї стінки на тиск стовпа рідини, відповідно глибині занурення центру ваги цієї стінки під рівень вільної поверхні.

Гідростатичний парадокс полягає в тому, що сила тиску на дно однакової площі в посудинах різних розмірів і форм, заповнених рідиною з однаковою густиною, на однакову висоту – однакова.

Центр тиску – це точка прикладення результуючої (повної) сили на площі стінки, що занурена у рідину.

Формулу для визначення центра тиску знайдемо, застосувавши теорему, яка говорить, що момент результуючої сили, яка діє на тверду плоску стінку дорівнює сумі моментів її складових. Припустимо, що результуюча сила прикладена нижче центра її ваги (рис.14).

Тоді, відповідно до теореми записуємо рівняння:

, (40)

де – момент результуючої сили;

– сума моментів складових елементарних моментів ().

З формули 40 знаходимо l_{ц.т .}

де – момент інерції плоскої фігури відносно осі, що не проходить через центр ваги. Він дорівнює моменту інерції цієї фігури відносно осі, що проходить через центр ваги I₀, плюс добуток квадрата відстані від центра ваги фігури до осі, що не проходить через центр ваги на площу плоскої фігури (F), тоді:

, (41)

тобто центр тиску завжди лежить нижче центра ваги.

Якщо стінка вертикальна, то l_ц.в.=h_ц.в., l_ц.т.=h_ц.т і формула приймає наступний вигляд:

, (42)

де I₀ і h_ц.в для різних форм плоских фігур приводяться у довідковій літературі.

Розглянемо простий приклад.

Визначити силу тиску на бокову плоску стінку аб, висотою h і шириною b. Ємність повністю заповнена рідиною (густиною ), а також центр тиску на цю стінку (рис.15).

Застосовуємо формулу для визначення сили тиску. , (де F=b·h; h_ц.в= h/2)

тоді .

Центр тиску, визначаємо за формулою (42) маючи на увазі, що (I₀=bh³/12)

.

Тобто, h_ц.т. занурений на 2/3 h, (в точці к) під рівень вільної поверхні рідини.