Поверхні рівного тиску

Визначення форм вільних поверхонь рідини в місткостях, які знаходяться в стані абсолютного і відносного спокоях.

Поверхнею рівного тиску називається поверхня, в кожній точці якої тиск є величина стала.

Для визначення форми вільної поверхні виведемо відповідне рівняння, застосовуючи зведене рівняння системи диференціальних рівнянь Ейлера (23)

Так як p = const, то dp = 0, але , тоді

(49)

рівняння 49 є диференціальним рівнянням поверхонь рівного тиску.

Визначення форми вільної поверхні рідини в місткості, яка (рідина) знаходиться в абсолютному спокої, тобто з масових сил на рідину діє тільки сила ваги. Прискорення сили ваги є „g” (рис.22).

При х =0; y =0; z =-g з рівняння 49 отримаємо

– gdz = 0, або z = const.

Тобто будь-яка точка, що лежить на вільній поверхні рідини знаходиться на одній і тій же відстані від площини порівняння, яка є горизонтальною. Таким чином, форма вільної поверхні – горизонтальна.

Форма вільної поверхні рідини, що знаходиться у циліндрі, який обертається разом з рідиною навколо вертикальній осі зі сталою кутовою швидкістю.

Уявимо собі, що при обертанні циліндра з рідиною утворюється певна криволінійна форма вільної поверхні з вершиною на осі циліндра, де встановлено початок координат. Вісь „z” направлено вниз.

Візьмемо на вільній поверхні рідини частинку рідини в точці „а”, яка обертається на радіус „r” від осі циліндра. На цю частинку, як і на всі інші, діють дві масові сили: сила ваги і відцентрова сила інерції, яким притаманні прискорення відповідно „g” і „ ”, які направлені „g” – вертикаллю вниз, - горизонтально за радіусом (рис. 23).

Прискорення „g” проектується на вісь z зі знаком (+), так як вісь z (прийнято у нашому випадку) направлено вниз, прискорення проектується

на вісь х, як ;

на вісь у, як .

Проекція радіуса „r”, на якому обертається частинка рідини на вісь „ х ” – х, проекція радіуса „ r ” на вісь „ у ” – у.

З рис. 24 видно, що: . Тоді: ;

де х і у – проекції радіуса на відповідні осі.

З метою визначення форми вільної поверхні застосовуємо рівняння поверхонь рівного тиску в диференціальній формі.

.

Підставляємо визначені нами значення X, Y, Z, в рівняння і отримаємо

.

Інтегралом цього диференціального рівняння буде:

. (50)

Так як x²+y²=r² рівняння (50) буде мати вигляд

(51)

Рівняння (51) показує, що поверхнями рівного тиску в цьому випадку є сімейство параболоїдів обертання.

Побудувати параболу можна прийнявши

у = 0 (рис. 25).

В цьому випадку рівняння (50) приймає вигляд

. (52)

При х = 0 і z = 0 С = 0.

Тоді

Задаючись значеннями х (від 0 до R) одержуємо відповідні значення (- z).

h_max буде при x = R

(53)

де R – радіус циліндра, - z _max = h;

h – висота воронки.

Рівновага газу з урахування його стисливості (у полі сили ваги).

Основне рівняння газостатики, враховуючи вплив стисливості газу (), дістанемо інтегруючи відоме диференціальне рівняння рівноваги

,

яке має вигляд (54)

Для обчислення інтеграла необхідно густину газу виразити безпосередньо через тиск .

Зміна стану газу може здійснюватись за ізотермічним законом

,

або за політропним законом

.

Інтегруючи рівняння для ізотермічного закону, тобто температура в усіх точках даного об’ємі газу зберігається сталою, дістанемо

. (55)

Це рівняння газостатики відрізняється від основного рівняння гідростатики тим, що розподіл тиску в газі з урахуванням його стисливості в ізотермічних умовах відповідає на лінійному, а логарифмічному закону.

Зазначена різниця навіть при значній зміні висоти дуже невелика. Аналіз показує, що розподіл тиску повітря в полі сил тяжіння при ізотермічних умовах з похибкою не більше як 1% можна визначити так, начебто воно було нестисливою рідиною при зміні висоти в межах 1200 м.

Оскільки в задачах техніки газопостачання і вентиляції зустрічаються значно менші перепади висот ніж 1200 м, похибка при користуванні рівняннями гідростатики буде незначною, що й дає можливість застосовувати їх при вивчені закону рівноваги газу (повітря).

У випадку зміни стану газу за політропічним законам маємо

, (56)

Звідки .

Інтегруючи рівняння (54)

і проводячи відповідні підстановки, дістанемо

, (57)

або, так як

і (58)

дістанемо

. (59)

Перше рівняння (57) визначає закон розподілення тиску, а друге (58) – закон розподілення температури.

Позначаючи в рівнянні (59) різницю і розв’язуючи це рівняння відносно Т, дістанемо

, (60)

або

, (61)

де t – температура повітря на висоті h;

n – показник адіабати процесу;

R – газова стала, Дж/кг град. (287 для повітря).

При t₀ = 0; n = 1,4; R = 287; g = 9,81.

t = -0,01h.

З цього рівняння випливає, що температура повітря зменшується за направленням знизу вверх за лінійним законом, зменшуючись приблизно на 1⁰С через кожні 100 м. за висотою.

 

 

Гідрогазодинаміка

Гідрогазодинаміка вивчає закони, яким підпорядковується рідина (краплинна, чи газоподібна), що рухається. Спочатку розглянемо закони руху рідини зі сталою густиною. До таких рідин відносяться краплини і гази, при умові, що зміною густини при їх русі можна знехтувати.

Згідно теорії Ейлера розглядаються частинки рідини, що проходять через будь-яку фіксовану точку в потоці. При цьому швидкість частинок, гідродинамічний тиск, густина є неперервними функціями координат і часу.

Рух рідини може бути розподілено на два основних види – неусталений і усталений.

Неусталений рух відбувається коли частинки рідини, що проходять через фіксовану точку в потоці, мають різні швидкості в різні моменти часу. Прикладом неусталеного руху є витікання рідини крізь отвір при змінному напорі.

Усталений рух має місце коли частинки рідини, проходячи через фіксовану точку в потоці, не змінюють швидкість. Прикладом усталеного руху може бути витікання рідини крізь отвір при сталому напорі.

Усталений рух поділяється на рівномірний і нерівномірний.

Рівномірний рух відбувається коли швидкість не змінюється вздовж руху рідини (рух рідини в циліндричній трубі).

Нерівномірний – коли швидкість змінюється вздовж руху рідини (рух рідини в дифузорі).

Безнапірним називається рух потоку рідини з вільною поверхнею (рух води в каналах, річках).

Напірним називається рух потоку рідини без вільної поверхні (рух рідини в суцільно заповнених трубах).