Контрольная работа №6

В каждом задании требуется определить тип дифференциального уравнения и его общее решение. Кроме того, в задании 3 определить частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям.

Вариант 1

1. 2.

3. 4.

5. Тело, выйдя из состояния покоя, движется со скоростью, которая

определяется в каждый момент времени по формуле м/с.

Определить закон движения тела и путь, пройденный телом за 3с.

Вариант 2

1. 2.

3. 4.

5. Определить кривую, у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

Вариант 3

1. 2.

3. 4.

5. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа пропорциональна в каждый момент времени его фактической стоимости. Начальная стоимость Какова будет стоимость оборудования по истечении лет?

Вариант 4

1. 2.

3. 4.

5. Определить кривую, проходящую через точку А(0;1), для которой

треугольник, образованный осью OY, касательной к кривой в произвольной ее точке, и радиусом-вектором точки касания, равнобедренный (его основанием служит отрезок касательной от точки касания до оси OY.

Вариант 5

1. 2.

3. 4.

5. Определить кривую, у которой произведение абсциссы любой точки, принадлежащей кривой, на отрезок, отсекаемый нормалью на оси OX, равно квадрату расстояния этой точки от начала координат.

Вариант 6

1. 2.

3.

4.

5. Тело массы M падает по вертикали с некоторой высоты без начальной скорости. При падении тело испытывает сопротивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости тела. Определить скорость движения тела в любой момент времени

Вариант 7

1. 2.

3. 4.

5. Определить такую кривую, проходящую через точку A(0;-2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной на 3 единицы.

Вариант 8

1. 2.

3. 4.

5. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения . Определить зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начав вращаться со скоростью 100 об/мин, по истечении 1 минуты вращается со скоростью 60 об/мин.

Вариант 9

1. 2.

3.

4.

5. Определить кривые, у которых отношение отрезка, отсекаемого касательной на оси OY, к радиус-вектору равно постоянной величине.

Вариант 10

1.

2..

3. 4.

5. Определить радиус парашюта, чтобы при общем весе парашюта и летчика в 100 кг наибольшая скорость падения не превосходила 5 м/с. Сила сопротивления воздуха пропорциональна (к=0, 083) квадрату скорости и площади S наибольшего сечения тела, перпендикулярного к направлению движения.

Вариант 11

1. 2.

3.

4. 4.

5. Определить такую кривую, для которой угловой коэффициент касательной в любой точке в n раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.

Вариант 12

1. 2.

3.

4.

5.Локомотив движется по горизонтальному участку пути со скоростью 72 км/час. Через сколько времени и на каком расстоянии после начала торможения он будет остановлен, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,2 его веса.

Вариант 13

1. 2.

3.

4.

5. Через точку A(2;1) провести кривую, для которой касательная в любой точке совпадает с направлением радиус-вектора, проведенного из начала координат в ту же точку.

Вариант 14

1. 2.

3.

4.

5.Определить закон движения и скорость движущегося тела, если скорость его возрастает пропорционально пройденному пути и если в начальный момент движения тело находилось в 8 м от начала отсчета пути и имело скорость 24 м/с.

Вариант 15

1. 2.

3. 4.

5.Моторная лодка движется в спокойной воде со скоростью 5 м/с. На полном ходу ее мотор выключается и через 40 секунд после этого скорость лодки уменьшается до 2 м/c. Определить скорость лодки через 2 минуты после остановки мотора, считая, что сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Вариант 16

1. 2.

3. 4.

5. Определить кривую, для которой радиус-вектор равен длине отрезка касательной между точкой касания и осью OX.

Вариант 17

1. 2.

3. 4.

5.Определить кривую, для которой отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен полусумме координат точки касания.

Вариант 18

1. 2.

3.

4.

5. Количество света, поглощаемого при прохождении через слой воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя. Если при прохождении слоя воды толщиной 3 м поглощается половина первоначального количества света, то какая часть этого количества дойдет до глубины 30 м?

Вариант 19

1.

2.

3.

4.

5.Определить кривые, у которых тангенс угла между касательной и положительным направлением оси OX обратно пропорционален абсциссе точки касания.

Вариант 20

1. 2.

3.

4.

5.Корабль замедляет свое движение под действием силы сопротивления воды, которая пропорциональна скорости коробля. Начальная скорость корабля 10 м/c, скорость его через 5 секунд 8 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 м/c?

Вариант 21

1. 2.

3. 4.

5.Написать уравнение кривой, проходящей через точку A(-1;-1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси OX касательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.

Вариант 22

1. 2. олпллп

3.

4.

5. Скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна его наличному количеству. За 30 дней распалось 50% первоначального вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества?

Вариант 23

1.

2.

3. 4.

5. Опеределить кривые, для которых площадь треугольника, образованного

касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина

постоянная, равная

Вариант 24

1. 2.

3.

4.

5.Определить путь S, пройденный телом за время t, если его скорость пропорциональна проходимому пути и если тело проходит 100 м за 10 секунд, а 200 м за 15 секунд.

Вариант 25

1. 2.

3.

4.

5.Определить кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью OX имеет абсциссу вдвое меньшую абсциссы точки касания.

Вариант 26

1. 2.

3. 4.

5.Пуля входит в доску толщиной h=10 см со скоростью =200 м/с, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью =80 м/с. Считая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, вычислить время движения пули через доску.