Интуиционистская логика

Начало XX века ознаменовано кризисом в математике. Оказалось, что теория множеств, на основе которой предполагалось обосновать всю математику, противоречива. В частности, был сформулирован парадокс, называемый парадоксом Рассела: пусть Т - множество всех множеств, которые не являются элементами самих себя. Является ли само множество Т элементом самого себя? То есть верно ли: Т Т?

Допустим, что это верно, Т Т.

++(1) Т Т

(2) - по определению Т (ведь Т - множество всех множеств, которые не являются элементами самих себя).

(3) Т Т - из (1), (2) по .

(4) - из (1), (3) по ВК.

Допустим, что Т Т.

++(1) Т Т

(2) - по определению Т (ведь Т - множество всех множеств, которые не являются элементами самих себя).

(3) Т Т - из (1), (2) по .

(4) - из (1), (3) по ВК.

Далее:

(1) Т Т - доказано.

(2) T T - доказано.

(3) - (1), (2) по ВК.

При доказательстве противоречивости теории множеств принимается закон исключенного третьего: Т Т или Т Т.

Интуиционистское направление в математике возникло в связи с решением задачи обоснования математики. Основателем этого направления в математике и в философии математики является голландский математик Л. Э. Я. Брауэр. Начало этого направления дано в его диссертации «Об обосновании математики», написанной в 1907 году. Далее в этом направлении работали математики А. Гейтинг, С. Клини, Марков А.А. (младший) и др.

Особенность интуиционизма - конструктивный подход к построению научного знания, в том числе к математике. Этот подход заключается в выделении конструктивных объектов, конструктивных доказательств и конструктивных утверждений.

Конструктивный объект - тот, который уже построен, или же тот, для которого имеется алгоритм построения или, если говорить о математике, имеется алгоритм вычисления этого объекта.

Примеры. - конструктивный объект. Число k, задаваемое следующим условием: «k-тое положение в десятичном разложении числа занимает первый ноль, такой, что за ним по порядку следуют цифры от 1 до 9, если же такого ноля не существует, то k = 1» - не конструктивный объект.

Конструктивное доказательство - например, доказательство утверждения если оно дает способ построения какого-то объекта, обладающего свойством А, или указывает этот объект.

Конструктивное утверждение - то, для которого получено конструктивное доказательство. В качестве конструктивно доказанных могут иметься в виду не только утверждения о существовании объектов, но и любые утверждения, доказанные без использования неконструктивных способов рассуждений, т.е. доказанные посредством особой интуиционистской логики.

Конструктивный подход потребовал разработки специальной логики, называемой интуиционистской. В этой логике суждения понимаются не так, как в классической логике. В классической утверждение А означает, что положение дел, описываемое А имеет место в действительности. В интуиционистской означает - доказано конструктивно, что положение дел имеет место. Более строго:

(0) Атомарное суждение Р истолковывается так: Р конструктивно доказано.

(1) Суждение А В считается конструктивно доказанным, если, и только если, конструктивно доказано А и конструктивно доказано В.

(2) Суждение A В считается конструктивно доказанным, если, и только если, конструктивно доказано А или конструктивно доказано В, т.е. если точно известно, какой именно член дизъюнкции доказан.

(3) Суждение А В считается конструктивно доказанным, если, и только если, имеется способ преобразования любого конструктивного доказательства А в конструктивное доказательство В.

(4) Суждение ~А считается конструктивно доказанным, если, и только если, допущение того, что А конструктивно доказано, приводит к противоречию.

При таком истолковании высказываний неверен закон исключенного третьего и не принимается в качестве закона логики утверждение типа ~~A А. Из того, что опровергнуто допущение опровержения А, не следует, что имеется конструктивное доказательство А.

(5) Суждение вида является конструктивно доказанным, если и только если можно указать объект а, для которого конструктивно доказано А(а).

(6) Суждение вида является конструктивно доказанным, если и только если имеется общий способ установления того, что для каждого объекта а из объема общего имени (в данном случае из области интерпретации х) верно А(а).

Интуиционистское исчисление высказываний (Гейтинга)

Символы: - известны.

Схемы аксиом.

Правило вывода: модус поненс.

В чем отличие от классической логики? Если схему аксиом 10 заменить на схему ~~A А, то получим классическую логику. Закон исключенного третьего не доказуем.

Семантика возможных миров для интуиционистского исчисления высказываний

Семантика включает множество модельных структур. Модельная структура - это множество <W, R>, в котором W - непустое множество возможных миров, R - рефлексивное и транзитивное отношение достижимости между мирами (как в S4).

Истинность и ложность формул определяется отдельно друг от друга. Выражения TA/v и FA/v соответственно означают: истинно А в мире v и ложно А в мире v. (Пусть v, w, r, ,... - символы для миров, a v', w', r', v''... - переменные для миров.)

Базис. Формула Р - пропозициональная переменная. При определении истинности и ложности этой формулы должны соблюдаться следующие условия.

Монотонность. TP/v и R(v, w) TP/w.

Полнота. TP/v или FP/v (истинно, что конструктивно доказано Р, или ложно, что конструктивно доказано Р).

Непротиворечивость. «Неверно, что одновременно TP/v и FP/v».

Индукционный шаг.

Формула общезначима в модельной структуре, если и только если она истинна в каждом мире этой структуры.

Формула (логически) общезначима, если и только если она общезначима в каждой модельной структуре.

Возможные миры можно понимать как этапы развития знания. При этом рассматриваются все возможные пути развития знания, т.е. не только те, которые будут иметь место в действительности.

 

 

1. Традиционная силлогистика без отрицательных терминов.

Название «силлогистика» происходит от древнегреческого «», что можно перевести как «дедуктивный», «выводящий». Силлогистика, построенная Аристотелем, является первой аксиоматической системой. Известная геометрия Эвклида была построена позже в духе силлогистики Аристотеля.

В силлогистике описываются умозаключения, посылками и заключениями которых являются категорические суждения. Это, как уже было сказано, атрибутивные суждения следующих логических форм.

Каждый (все) S есть (суть) Р - А (или SaP).

Некоторый (некоторые) S есть (суть) Р - I (или SiP).

Каждый (ни один) S не есть (не суть) Р - Е (или SeP).

Некоторый (некоторые) S не есть (не суть) Р - О (или SoP).

Будем считать категорическими также единичные суждения следующих логических форм.

s есть Р.

s не есть Р.

Категорические суждения противопоставляются суждениям модальным, в которых нечто утверждается о возможных, необходимых, случайных и т.д. положениях дел, условным, в которых утверждается наличие положения дел при некотором условии, и т.д. Категорически утверждать что-то, значит, утверждать безусловно и без сомнения. К категорическим суждениям естественно отнести и суждения об отношениях. Однако последние в традиционной логике были недостаточно исследованы из-за отсутствия методологических средств, которые предоставляет символическая логика, в частности, логика предикатов. В этом разделе курса суждения об отношениях не рассматриваются .

Семантика категорических суждений. В традиционной силлогистике исследуются выводы из категорических суждений, в которых мена не являются универсальными (объемы имен не совпадают областью рассуждения, с универсумом) и не являются мнимыми менами, т.е. именами, объемы которых являются пустыми множествами. Последние называются также пустыми терминами. Условия истинности категорических суждений представлены следующими схемами.

На последней схеме объем S заштрихован горизонтальными линиями, а объем Р - наклонными.

Схемы для единичных суждений.

Непосредственные умозаключения.

Непосредственными называются умозаключения из одной посылки. Эти умозаключения могут проверяться посредством приведенных выше схем.

Из суждения С следует суждение В, если, и только если, на любой схеме, на которой истинно С истинно и В. Этот факт выражается так: С |= В.

На основе этих схем можно устанавливать другие отношения между категорическими суждениями с одними и теми же терминами.

Суждения совместимы по истинности, если, и только если, существует схема, на которой оба эти суждения истинны.

Суждения совместимы по ложности, если, и только если существует схема, на которой оба эти суждения ложны.

Выводы по логическому квадрату. Логический квадрат выражает отношения между категорическими суждениями с одними и тем же терминами.

Посредством семантических схем можно обосновать правомерность утверждения о том, что между суждениями имеют место именно отношения, обозначенные на схемах. Например, на некоторых схемах оба суждения А и Е имеют значение л, на некоторых - разные значения, и нет ни одной схемы, на которой оба суждения имеют значение и. Аналогично обосновываются другие отношения между категорическими суждениями с одними и теми же терминами. (В традиционной логике их называли суждениями «одной и той же материи».)

По логическому квадрату можно обосновать следующие умозаключения. (Отметим, что если суждение В является ложным, то его отрицание, т.е. В, является истинным.)

Обращение категорических суждений. Обращение категорически суждений - это умозаключение, которое заключается в перемене местами субъекта и предиката исходного суждения.

Вывод осуществляется по следующей схеме:

Правильные способы рассуждения выделяют на основе следующих семантических схем.

Обоснованными являются следующие умозаключения: SaP|= PiS, т.е. общеутвердительные суждения обращаются с ограничением;

SiP |= PiS;

SeP |= PeS;

SoP | PoS, т.е. частноотрицательное суждение не обращается.

Простой категорический силлогизм.

Простой категорический силлогизм - это умозаключение, в котором из двух категорических суждений выводится третье категорическое суждение - заключение. Отношение между терминами заключения устанавливается на основе их отношения к некоторому третьему термину в посылках.

Пример 1.

В категорическом силлогизме три нелогических термина, являющихся общими или единичными именами. Термины, входящие и заключение, называются крайними, а термин, входящий в каждую из посылок, но не входящий в заключение, - средним. В примере средним термином является общее имя «бактерия». Средний термин обычно обозначается буквой М (от латинского «terminus medius» - «термин средний»). Термин, соответствующий субъекту заключения, называется меньшим. Он, как правило, обозначается латинской буквой S. Термин, соответствующий предикату заключения, называется большим и обычно обозначается латинской буквой Р. После обозначения терминов силлогизм выглядит так:

Структура приведенного силлогизма:

То есть, поскольку все S суть М, а все М суть Р, то все S суть P. Простые категорические силлогизмы называют также умозаключениями через средний термин.

Посылка, в которую входит больший термин, называется большей, а в которую входит меньший термин, - меньшей.

Пример 2.

Субъект заключения («поэтическое произведение») - меньший термин (S), предикат заключения («мировоззренческое произведение») - больший термин (Р), термин, который входит в каждую и посылок, но не входит в заключение («философское произведение»), - средний (M). После выявления крайних и среднего термина силлогизму придается стандартная форма:

То есть сначала пишется большая посылка, а затем - меньшая.

Структура:

Разработано несколько методов исследования силлогизмов, т.е. установления их правильности или неправильности.

Первый метод. Проверяется соблюдение общих правил силлогизма. Силлогизм является правильным, если, и только если, ни одно из общих правил не нарушено. Эти правила следующие.

Правила суждений.

1. По крайней мере одна из посылок должна быть общим суждением.

2. При одной частной посылке заключение должно быть частичным суждением.

3. По крайней мере одна из посылок должна быть утвердительной.

4. Если в силлогизме есть отрицательная посылка, то его заключение должно быть отрицательным суждением.

5. При обеих утвердительных посылках заключение должно быть утвердительным суждением.

Первое и второе правила суждений являются производными от остальных правил суждений и правил терминов, однако их применение может сократить случаи, когда необходимо рассматривать правила терминов. Три последних правила суждений можно заменить одним правилом: количество отрицательных посылок должно нить равно количеству отрицательных заключений.

Таким образом, возможны три варианта формулировки правил суждений:

· формулируются все пять правил (это полезно в эвристических целях, так как сокращаются случаи проверки соблюдения правил терминов, применение которых затруднительно при устном анализе силлогизмов);

· формулируются только три последних правила суждений;

· формулируется одно правило суждений: количество отрицательных посылок должно быть равно количеству отрицательных заключений (для применения этого правила нужно знать, что существует число 0).

Правила терминов.

6. Средний термин должен быть распределен по крайней мере в одной из посылок.

7. Термин, не распределенный в посылках, не должен быть распределен в заключении.

Пример 3. Является ли правильным следующий силлогизм?

Начнем исследовать силлогизм с заключения. Придадим посылкам и заключению стандартную форму, т.е. форму «Все S суть Р» («Каждый S есть Р») или «Некоторые S суть Р» («Некоторый S есть Р»), или «Ни один S не суть Р» («Каждый S не суть Р»), или «Некоторые S не суть Р» («Некоторый S не есть Р»), или «s есть Р», «s не есть Р».

Стандартная форма заключения - Некоторый иностранец есть преступник. Меньший термин (S) - общее имя «иностранец», больший термин (Р) - общее имя «преступник». Меньшей посылкой является суждение «Некоторый иностранец (S) есть лицо, подлежащее привлечению к уголовной ответственности». Большей посылкой - суждение «Каждый преступник (Р) есть лицо, подлежащие привлечению к уголовной ответственности».

Средним термином (М) является общее имя «лицо, подлежащее привлечению к уголовной ответственности».

В стандартной форме силлогизм выглядит так:

Структура силлогизма:

Правила суждений не нарушены. Проверяем соблюдение правил терминов.

В общих (и единичных) суждениях распределены субъекты, а в отрицательных - предикаты. Остальные термины не распределены.

Не соблюдено правило «Средний термин должен быть распределен по крайней мере в одной из посылок». Силлогизм неправильный.

Пример 4.

Признаком горения является наличие пламени, поэтому окисление не является горением, так как оно не характеризуется этим признаком.

Выделяем заключение и придаем ему стандартную форму:

Выделяем большую посылку и придаем ей стандартную форму:

Выделяем меньшую посылку и придаем ей стандартную форму:

Структура силлогизма:

Силлогизм неправильный, так как не соблюдено правило терминов «Средний термин должен быть распределен по крайней мере и одной из посылок».

Описанный метод анализа силлогизмов можно назвать абсолютным, поскольку он позволяет для каждого силлогизма решить вопрос о его правильности или неправильности: если ни одно правило не нарушено, то силлогизм правильный, а если нарушено хотя бы одно правило, то силлогизм неправильный.

Второй (вспомогательный) метод исследования силлогизмов.

Метод заключается (1) в подразделении простых категорических силлогизмов на типы, называемые фигурами, в зависимости от того, какое место занимает средний термин в посылках, и (2) формулировании особых правил для каждой фигуры. Силлогизм является неправильным, если какое-то из правил фигуры нарушено. Метод не является абсолютным, поскольку силлогизм может быть неправильным и при соблюдении всех правил соответствующей фигуры. В таком случае следует проверить, не нарушено ли какое-либо из общих правил.

Этот метод имеет эвристическое значение. Владение им позволяет быстро опровергать силлогизмы при их устном анализе, например в процессе полемики.

Фигуры простого категорического силлогизма:

Из схем видно, что при делении силлогизмов на типы (фигуры) им придается стандартная форма - сначала пишется последовательность терминов большей посылки (сначала - субъект, а за тем - предикат), а затем - меньшей посылки.

Пример 5. К какой фигуре относится силлогизм «Некоторые студенты являются экстремистами, поскольку все студенты - учащиеся, и некоторые экстремисты - учащиеся»?

Как уже говорилось, целесообразно сначала выделить заключение. Это суждение «Некоторые студенты являются экстремистами» В стандартной форме: Некоторый студент есть экстремист. Субъект заключения, т.е. меньший термин, - «студент» (S), предикат заключения, т.е. больший термин, - «экстремист» (Р). Суждение «Некоторые экстремисты - учащиеся» является большей посылкой, так как в нее входит больший термин. Ее стандартная форма - «Некоторый экстремист (Р) есть учащийся». Поскольку в посылку кроме крайнего термина (в данном случае большего) входит средний термин, то термин «учащийся» - средний (М). Суждение «Все студенты - учащиеся» является меньшей посылкой (в нее входит меньший термин - «студент» (S)). В стандартной форме: «Каждый студент (S) есть учащийся (М)».

Силлогизм в стандартной форме выглядит так:

Фигура силлогизма:

Это вторая фигура.

Правила фигур

Правила I фигуры:

1) большая посылка должна быть общим суждением;

2) меньшая посылка должна быть утвердительным суждением.

Правила II фигуры:

1) большая посылка должна быть общим суждением;

2) одна из посылок должна быть отрицательным суждением.

Правила III фигуры:

1) меньшая посылка должна быть утвердительным суждением;

2) заключение должно быть частным суждением.

Правила IV фигуры:

1) если заключение является общим суждением, то оно должно быть отрицательным суждением;

2) если большая посылка утвердительная, то меньшая посылка должна быть общим суждением;

3) если одна из посылок - отрицательное суждение, то большая посылка должна быть общим суждением.

Приведенный силлогизм не является правильным, так как не соблюдены оба правила второй фигуры - большая посылка не является общим суждением, и нет отрицательной посылки. (Напоминаем, что силлогизм является неправильным, если не соблюдено хотя бы одно из правил соответствующей фигуры.)

Пример 6. Некоторые теплокровные животные являются млекопитающими, поскольку некоторые живородящие животные являются теплокровными, и некоторые живородящие являются млекопитающими.

Как уже было сказано, анализ силлогизма начинаем с выявления включения. Заключением является суждение «Некоторые теплокровные животные являются млекопитающими». Придаем заключению стандартную форму, выделяем в нем меньший и больший термины и пишем его под чертой.

Выявляем большую посылку. В нее входит больший термин - «млекопитающее» (Р). Большей посылкой является суждение «Некоторые живородящие животные являются млекопитающими».

В стандартной форме с выделением среднего термина - «Некоторое живородящее животное (M) есть млекопитающее (Р)». Пишем большую посылку сверху.

Выявляем меньшую посылку. В нее входит меньший термин (S) и средний термин (M). Это суждение «Некоторые живородящие являются теплокровными». В стандартной форме - «Некоторое живородящее животное (M) есть теплокровное животное (S). Пишем меньшую посылку над чертой.

Фигура силлогизма:

Это силлогизм третьей фигуры. Правила третьей фигуры соблюдены. Однако рассматриваемый метод, как было сказано, не является «абсолютным», т.е. при соблюдении правил фигур силлогизм может оказаться неправильным, поэтому проверяем соблюдение общих правил. Правило суждений «Одна из посылок должна быть общим суждением» нарушено. Следовательно, силлогизм не является правильным.

Третий метод (выделение правильных структурных видов - модусов силлогизма).

Если учитывать правильные и неправильные виды (модусы) силлогизма, то их окажется всего 256 (по 64 модуса для каждой фигуры). Из них правильных модусов 19, а вместе с так называемыми ослабленными модусами - 24.

Рассмотрим правильные модусы первой фигуры.

По правилам 1 фигуры большая посылка должна быть общим суждением, а меньшая - утвердительным. Будем писать последовательно большую посылку, меньшую посылку и заключение, обозначая общеутвердительное, общеотрицательное, частноутвердительное суждения строчными буквами а, е, i, о, соответственно. Возможны следующие правильные модусы: ааа, еае, aii, eio, если учитывать и общие правила. Поскольку из суждения а следует суждение i, а из суждения е следует о, то возможны еще два (ослабленных) правильных модуса: aai, еао.

Рассуждая сходным образом, можно вывести другие правильные модусы.

В средние века правильным модусам дали особые названия.

Первая фигура: Ba'rbara, Celare'nt, Darii', Ferio.

Ослабленные модусы: Barbari, Celaront.

Вторая фигура: Ce'sare, Camestre's, Festino', Baro'ko.

Ослабленные модусы: Cesaro, Camestrop.

Третья фигура: Darapti, Disamis, Datisi, Fela'pton, Bocardo, Feriso'n.

Четвертая фигура: Bra'mantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

Ослабленный модус: Camenos.

Было составлено стихотворение для лучшего запоминания модусов и зaпоминания способов их «сведения» к модусам первой фигуры.

Ba'rbara, Celare'nt, Darii', Ferioque prioris;

Ce'sare, Camestre's, Festino', Baro'ko secundae;

tertia Darapti, Disamis, Datisi, Fela'pton,

Bocardo, Feriso'n habet; quarta insupir a'ddit

Bra'mantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.

Пример 7. Является ли правильным силлогизм: «Все киты - млекопитающие, и все они водные животные, следовательно, некоторые водные животные - млекопитающие»?

Это силлогизм третьей фигуры. Модус силлогизма - aai. Этот модус правильный - Bra'mantip.

Пример 8. Силлогизм «Все адвокаты - юристы, но некоторые представители судебной защиты не адвокаты, следовательно, некоторые представители судебной защиты не юристы».

Силлогизм относится к четвертой фигуре. Модус - аоо. Модус неправильный. Следовательно, этот силлогизм не является правильным.

Четвертый метод (семантический).

Определения: силлогизм является правильным, если на всех семантических схемах (для трех терминов), на которых истинны посылки, истинно и заключение; силлогизм не является правильным, если существует хотя бы одна семантическая схема (для трех терминов), на которой посылки истинны, а заключение ложно.

Пример 9. Так как все заряженные частицы отклоняются в магнитном поле, а нейтроны не имеют заряда, то они не отклоняются в магнитном поле.

В стандартной форме:

Проверка силлогизма осуществляется так: (1) вычерчиваются схемы, на которых истинна большая посылка; (2) вычерчиваю все схемы, на которых истинна меньшая посылка; (3) каждая схем, на которой истинна большая посылка, совмещается с каждой из схем, на которой истинна меньшая посылка; (4) если на каждой из схем, полученных в результате совмещения, истинно заключение, то силлогизм правильный; если хотя бы на одной из схем, полученных в результате совмещения, заключение ложно, то силлогизм неправильный.

Большая посылка приведенного силлогизма истинна на следующих семантических схемах:

Меньшая посылка истинна на следующих схемах:

Совмещаем схемы (пусть «+» - знак совмещения схем):

На двух схемах заключение не является истинным. Силлогизм неправильный.

Пример 10.

Посылки истинны на следующих схемах:

Совмещаем схемы:

Заключение истинно на всех схемах. Силлогизм правильный.

Пятый метод. Исследование традиционной силлогистики средствами логики предикатов. Этот метод излагается во втором параграфе этой главы.

Энтимема силлогизма. Силлогизмы не всегда высказываются полностью. Часто одна из посылок или заключение опускаются, а в которых случаях пропускаются две части, например, одна посылка и заключение. Такие рассуждения называются энтимемами (от греческого «» - «в уме»).

Дан силлогизм:

Как можно сократить это рассуждение?

(1) Все настоящие ученые - творческие люди, а некоторые философы не являются творческими людьми. Пропущено заключение.

(2) Все настоящие ученые - творческие люди, значит, некоторые философы не являются настоящими учеными. Пропущена меньшая посылка.

(3) Некоторые философы не являются настоящими учеными, поскольку они не являются творческими людьми.

Для проверки правильности энтимемы нужно попытаться восстановить пропущенную часть таким образом, чтобы получился правильный силлогизм. Если этого сделать нельзя, то энтимема является неправильной, если удается, то правильной.

При исследовании энтимемы в процессе аргументации целесообразно попытаться установить, является ли восстановленная посылка силлогизма истинной или ложной. Если она оказывается истинной, то аргументация корректная, в противном случае - некорректная.

Пусть дана энтимема, в которой пропущена одна из посылок:

Дельфины - не рыбы, так как они киты.

Рекомендуется сначала выделить в энтимеме заключение и написать его под чертой (невысказанное заключение обычно находится легко). Заключение стоит после слов «следовательно», «поэтому» и соответствующих им по смыслу или же перед словами «так как», «потому, что», «ибо» и т.д. В приведенном рассуждении заключением является высказывание «Дельфины не рыбы». Далее следует вы«делить в заключении меньший и больший термины и выяснить, какой посылкой является высказывание «Дельфины - киты». Очевидно, что в это высказывание входит меньший термин, т.е. оно является меньшей посылкой.

Имеем:

Как восстановить пропущенную большую посылку? В нее должны входить средний термин («киты») и больший («рыбы»). Больше посылкой является истинное суждение «Ни один кит не является рыбой». Полный силлогизм:

Фигура силлогизма:

Правила первой фигуры соблюдены. Соблюдены также общие правила силлогизма. Силлогизм является правильным.

Сложные силлогизмы. В традиционной логике рассматривались также сложные силлогизмы - полисиллогизмы и сокращенные сложные силлогизмы - сориты и эпихейремы.

Полисиллогизм, в котором заключение силлогизма использовалось в качестве большей посылки другого силлогизма, назывался прогрессивным, а тот, в котором заключение выступало в качестве меньшей посылки другого, - регрессивным.

Примеры полисиллогизмов.

Прогрессивный.

Регрессивный.

Примеры соритов.

Гоклениевский

Пропускаются заключения предшествующих силлогизмов, являющиеся большими посылками последующих силлогизмов.

Аристотелевский

Пропускаются заключения предшествующих силлогизмов, являющиеся меньшими посылками последующих силлогизмов.

Эпихейрема - умозаключение, в котором посылками являются энтимемы.

6.1.2.

Аксиоматическое представление традиционной силлогистики

Традиционную силлогистику в виде дедуктивной аксиоматической системы представил польский логик Я. Лукасевич.

Язык.

Символы:

1) - логические термины;

2) a, i, е, о - силлогистические логические термины «каждый... есть...», «некоторый... есть...», «каждый... не есть...», «некоторый... не есть...», являющиеся знаками двухместных пропозициональных функций;

3) S, М, Р, - силлогистические термины (общие имена);

4) (,) - технические символы-скобки.

Определение формулы:

1) если Q и R общие имена, а - а или i, или е, или о, то выражение Q R - формула;

2) если А и В - формулы, то - формулы;

3) ничто иное формулой не является.

Аксиомы:

(1) Схемы аксиом исчисления высказываний.

(2) Специальные силлогистические аксиомы:

1. (MaP SaM) SaP - аналог модуса Barbara I фигуры;

2. (MaP MiS) SiP - аналог модуса Datisi III фигуры;

Правила вывода:

1) modus ponens;

2) правило подстановки символов S, М, Р, вместо S, М, Р, в формулы. Подстановка символа осуществляется вместо всех вхождений другого символа.

Понятия доказательства, теоремы и вывода обычные.

Рассмотрена традиционная силлогистика без отрицательных и сложных терминов, так называемая чистая силлогистика.

2. Традиционная силлогистика с отрицательными терминами (негативная силлогистика).

Расширяем традиционную силлогистику за счет введения отрицательных терминов. Наряду с S, Р, М и т.д. будем использовать термины ~S, ~Р, ~М. ~ - знак отрицания силлогистичесих терминов, читается «не». К этому виду умозаключений относятся превращение, противопоставление предикату и противопоставление субъекту.

Превращение категорических суждений. Это умозаключение, осуществляемое по следующей схеме:

Пример.

Графически отрицание силлогистического термина интерпретируется как дополнение к объему соответствующего термина в универсуме, например, ~А представляете заштрихованной поверхностью схемы:

Условия истинности суждений с отрицательными терминами, получаемых в результате применения операции превращения суждения:

Обоснованными являются следующие умозаключения:

SaP |= Se ~Р;

SiP |= So ~Р;

SeP |= Sa ~P;

SoP |= Si ~P.

Противопоставления предикату и субъекту

Противопоставление предикату - это умозаключение, в котором субъектом заключения является термин, противоречащий предикату посылки, а предикатом заключения - субъект посылки, и заключение и посылка различны по качеству.

Противопоставление субъекту - это умозаключение, в котором субъектом заключения является предикат посылки, предикатом заключения - термин, противоречащий субъекту посылки, и заключение и посылка различны по качеству. Противопоставление предикату и противопоставление субъекту можно осуществлять и анализировать поэтапно (например, в случае противопоставления предикату сначала произвести превращение, а затем осуществить правильное обращение результата превращения, а в случае противопоставления субъекту сначала произвести правильное обращение, а затем превращение результата обращения).

Общие схемы противопоставления предикату:

Общие схемы противопоставления субъекту:

Семантическая схема противопоставления предикату:

Объем ~Р представлен на схемах заштрихованными поверхностями.

Обоснованными являются следующие умозаключения:

SaP |= ~PeS;

SiP | ~PeS из частноутвердительного суждения такого вывода делать нельзя;

SeP |= ~PiS общеотрицательное суждение противопоставляется предикату с ограничением;

SoP |= ~PiS.

Схемы противопоставления субъекту:

Объем ~S представлен на схемах заштрихованными поверхностями.

Обоснованными являются следующие умозаключения:

SaP |= Po~S, т.е. общеутвердительные суждения противопоставляются субъекту с ограничением;

SiP |= Po~S;

SeP |= Pa~S;

SoP | вывода сделать нельзя.

Возможны категорические силлогизмы с отрицательными терминами.

Пример.

Форма этого умозаключения:

Семантический метод анализа. Посылки истинны на следующих семантических схемах.

Большая:

Меньшая:

Совмещаем схемы:

На схемах объем ~Р представлен заштрихованными поверхностями.

Силлогизм правильный.

6.1.3.

Аристотелевская силлогистика

Учение о силлогизмах излагается Аристотелем в Первой аналитике. В первой главе он пишет: «...<необходимо> определить, что такое посылка, термин, силлогизм, а также какой <силлогизм> совершенный и какой - несовершенный; затем, что значит: это целиком содержится или не содержится в этом, и что значит: что-либо приписывается всем или ни одному.

Посылка есть высказывание, утверждающее что-нибудь о чем-нибудь. Высказывание же это бывает общим, или частным, или неопределенным... Силлогистическое суждение есть вообще утверждение или отрицание чего-нибудь о чем-нибудь...

Термином я называю то, на что разлагается суждение, то, что приписывается, и то, чему приписывается <независимо от того>, присоединяется или отнимается то, что выражается посредством <глаголов>быть или не быть; силлогизм же есть высказывание, в котором при утверждении чего-либо из него необходимо вытекает нечто отличное от утвержденного и <именно> в силу того, что это есть. Под словами же «в силу того, что это есть», я разумею, что это отличное вытекает благодаря этому, а под словами «вытекает благодаря этому» - что оно не нуждается ни в каком постороннем термине, чтобы следовать с необходимостью. Совершенным силлогизмом я называю такой, который для выявления необходимости <заключения> не нуждается ни в чем другом, кроме того, что принято. Несовершенным я называю такой, который хотя и является необходимым благодаря положенным в основания <данного силлогизма> терминам, но нуждается в одном или нескольких <суждениях>, которых нет в посылках» .

«Итак, если три термина так относятся между собой, что последний целиком содержится в среднем, а средний целиком содержится или не содержится в первом, то необходимо, чтобы <для двух> крайних <терминов> образовался совершенный силлогизм. Средним <термином> я называю <тот>, который сам содержится в одним, в то время как в нем самом содержится другой и по положению ни является средним; крайними же я называю и тот, который содержится в другом, и тот, в котором содержится другой» .

«Ясно также, что все силлогизмы по этой фигуре [По первой, - Ю.И.] являются совершенными, ибо все они получают свое завершение посредством того, что было принято с самого начала...» .

«Силлогизмы первой фигуры с <частным> заключением становятся совершенными и через самих себя, но их можно доказать также по второй фигуре посредством приведения к невозможному» .

Аристотель строил силлогистику как аксиоматическую систему.

Постулаты: четыре модуса I фигуры -

МаР, SaM |-SaP - Barbara;

МеР, SaM |-SeP - Celarent;

МаР, SiM |-SiP - Darii;

МеР, SiM |-SoP - Ferio.

SaP |-PiS, SiP |-PiS, SeP |-PeS - принципы обращения;

Выводы, которые мы называли выводами по логическому квадрату.

Другие силлогистические умозаключения Аристотель обосновывал тремя способами: первый - прямое обоснование. Например, силлогизм третьей фигуры формы «Все М суть Р. Все М суть S. Следовательно, некоторые S суть Р» обосновывается так: Обращаем суждение «Все М суть S» - «Некоторые S суть М». По первой фигуре получаем «Некоторые S суть Р»;

второй - рассуждение от противного. Тот же силлогизм. Положим, что заключение неверно. Тогда: «Ни один S не суть Р». Обращаем суждение «Все М суть S» - «Некоторые S суть М». Получили противоречие. Подробнее:

+(1) Все М суть Р;

+(2) Все М суть S;

++(3) Неверно, что Некоторые S суть Р (то есть Ни один S не суть Р);

(4) Некоторые S суть М - результат обращения (2);

(5) Некоторые S суть Р - из (1), (4) по первой фигуре силлогизма, пртч. с (3).

Следовательно, допущение неверно и заключение верно;

третий - эктетическое доказательство, вводится новый термин, не встречающийся в силлогизме, он называется эктезисом: если в доказательстве есть суждение SiP, то вводятся дополнительные посылки MaS и МаР, а если есть SoP, то - MaS и МеР. В чистой позитивной силлогистике этот метод не необходим.

Аристотель не рассматривал силлогизмы четвертой фигуры.

Смирновым В.А. построено исчисление С2, соответствующее аристотелевской силлогистике.

Язык. Задан при аксиоматическом построении традиционной силлогистики.

Аксиомы:

Схемы аксиом классического исчисления высказываний.

Дополнительные схемы аксиом:

Правила вывода - modus ponens и правило подстановки.

Понятие доказательства и теоремы обычные.

Смысл аксиомы 5: субъект истинного суждения SiP не пуст.

При переводе категорических суждений аристотелевской силлогистики на язык логики предикатов используется Оккамавская трактовка суждений:

6.2. § 2. Логика предикатов

6.2.1. Исчисление предикатов. Система натурального вывода (ПСНВ)

Одним из средств современной логики, позволяющих устанавливать отношения по логическим формам между суждениями, понятиями и т.д., является логика предикатов. Наиболее удобный способ ее задания - система натурального вывода.

Язык логики предикатов, а также понятия области действия квантора и свободного и связанного вхождений переменной в формулу изложены в § 5 главы III. Здесь исключаются из языка пропозициональные переменные.