Язык логики предикатов второго порядка 3 страница

Пример понятия об упорядоченных множествах объектов: пара чисел таких, что первое число больше второго. Обозначим символом выражение «больший, чем». Тогда получим структуру:

Обобщаться и выделяться в понятиях могут свойства, отношения и функции.

«Свойство, которым обладает каждый студент» -

«Одноместная всюду определенная однозначная функция»:

Теперь общую форму понятий можно представить так:

- переменная (индивидная, предикаторная или функциональная).

Как уже говорилось, языковой формой выражения понятий являются общие описательные имена. Неописательные имена не всегда выражают понятия, а лишь в тех случаях, когда они введены в качестве сокращений для общих описательных имен. Поэтому неописательные имена можно считать знаками понятий лишь в тех случаях, когда известно, что они имеют приданный смысл, являющийся понятием, и известно, какой это смысл. Иначе может произойти подмена понятий именами, не выражающими таковых.

Создание понятий о предметах - иногда задача сложная. До сих пор не разработаны понятия игры, болезни, глобалистики, математики и т.д.

8.2.

§ 2. Содержание и объем понятия

В понятиях предметы выделяются на основе признаков. Признак - это наличие или отсутствие свойств у предметов или отношений между предметами. По типам логических форм признаки делятся на простые и сложные, а также на положительные и отрицательные.

Простым является признак, выражаемый в языке логики предикатов предикатом, не содержащим логических терминов, кроме, может быть, кванторов и одного знака отрицания. Признак, не удовлетворяющий этим условиям, является сложным.

Примеры простых признаков:

быть столицей Франции - R(x, a);

не быть столицей Франции - R(x, a);

быть столицей какого-то государства -

Признак «делиться на 2 и на 3» - сложный.

Положительные и отрицательные признаки. Простыми положительными признаками называются те, которые не содержат отрицания, а простыми отрицательными - признаки, содержащие отрицание. Признак «не есть столица России» - отрицательный (здесь а - Россия), а «есть столица России» - положительный. В языке отрицательные признаки выражаются не только при помощи связки «не есть (суть)», но и с помощью приставок «без-», «бес-» (бездарный, бесформенный, бесталанный) и т.д.

Разделить сложные признаки на положительные и отрицательные по отсутствию или наличию знака отрицания в формуле, выражающей этот признак на языке логики предикатов, не удается. Например, формулы и являются эквивалентными. Следовательно, системы признаков, выражаемые этими формулами, тоже эквивалентны. Однако одна из этих формул не содержит знака отрицания, а другая содержит. Правильно ли считать понятие, в котором предметы выделены по одной из этих систем признаков, положительным, а понятие, в котором предметы выделены но другой системе признаков, отрицательным? Мы не можем ответить на этот вопрос утвердительно.

Содержание понятия - это система признаков, на основе которой осуществлено обобщение и выделение предметов в понятии.

Например, содержание понятия «число, которое делится на 2 или на 3» - «делиться на 2 или на 3». Содержание понятия выражается предикатом. Если указанное понятие с использованием языка логики предикатов представить выражением , то содержанию этого понятия соответствует формула . В общем виде: если - понятие, то - его содержание.

Различают логическое и фактическое содержание понятия.

Логическое содержание - это та информация, которую несет логическая форма мысли о системе признаков, на основе которой произошло обобщение предметов и выделение их из рода понятия.

Чтобы выявить логическое содержание понятий хА(х), надо отвлечься от части смыслов дескриптивных терминов, входящих в выражение А(х).

Что дает знание логического содержания понятия? Во-первых, по логическому содержанию можно установить, является ли понятие универсальным, т.е. выделен ли в нем весь универсум рассуждения (род). Понятие, содержание которого выражено общезначимой формулой, например формулой , является универсальным. Во-вторых, по логическому содержанию можно установить, является ли понятие пустым в том смысле, что в нем не выделяется ни один предмет из универсума. Если содержание понятия выражается противоречивой формулой, например формулой , то понятие является пустым. В-третьих, логические содержания могут использоваться при установлении отношений между понятиями. Например, если содержания одного и второго понятий выражены соответственно формулами и , то второе понятие богаче первого по содержанию, поскольку а обратное неверно.

Фактическое содержание понятия делится на основное и полное. Основное фактическое содержание - это система признаков, на основе которой осуществлено обобщение и выделение предметов в понятии, рассматриваемая сама по себе, т.е. без учета всего имеющегося знания об обобщаемых предметах, о связях признаков, входящих в эту систему, с другими признаками и т.д.

Полное фактическое содержание - это содержание понятия с учетом всего имеющегося знания о предметах, обобщаемых в понятии, о признаках, по которым происходит обобщение, и т.д.

Очевидно, что основное и полное содержания одного и того же понятия могут не совпадать.

Например, основное содержание понятия «химические вещества, имеющие одинаковый состав атомов в молекулах, но различающиеся структурой» (понятие изомеров) выражается предикатом «иметь одинаковый состав атомов в молекулах, но различаться структурой». В химии известно, что вещества, имеющие различную структуру молекул, обладают различными (по крайней мере некоторыми) химическими или физическими свойствами. Учитывая это знание, следует включить в полное содержание понятия признак «обладать различными химическими или физическими свойствами». В основное содержание рассматриваемого понятия этот признак не включается.

Объем понятия - это множество предметов, обобщаемых и выделяемых в понятии, т.е. множество предметов, которые характеризуются системой признаков, составляющей содержание понятия.

Объем понятия хА(х) может быть обозначен так: WxA(x) - класс х таких, что х есть А. В общем случае - множество n-ок предметов, находящихся в отношении А.

Естественно различать логический и фактический объемы понятия.

Логический объем - это класс предметов, обладающих системой признаков, составляющей логическое содержание понятия.

Фактический объем - это класс предметов, обладающих системой признаков, составляющей фактическое содержание понятия.

Отдельные предметы, относящиеся к классу предметов, являющемуся объемом понятия, называются элементами объема понятия. Элементами объема понятия о человеке являются отдельные люди. Подклассы объема понятия, не совпадающие с ним и не являющиеся пустым множеством, называются частями объема.

Объем понятия можно представить графически в виде круга, заполненного точками. Каждая точка этого круга представляет какой-то элемент объема понятия. Например, объем понятия о человеке графически можно представить в виде круга А.

Связь между содержаниями и объемами понятий выражается в логическом законе обратного отношения между ними, который можно сформулировать так: пусть имеются два понятия, содержание первого из которых меньше содержания второго, тогда объем первого больше объема второго.

Например, сравнивая содержания понятий «преступление» и «хозяйственное преступление», мы можем утверждать, что содержание первого меньше, чем содержание второго. Объемы же этих понятий находятся в обратном отношении, поскольку хозяйственных преступлений меньше, чем всех преступлений.

В традиционной логике не было точных критериев сравнения понятий по содержаниям. Считалось, что содержание одного понятия больше содержания другого, если содержание первого включает и себя больше признаков, чем содержание другого. В тех случаях когда признаки объединены союзом «и», такое понимание может быть приемлемо, и то не всегда. Так, содержание понятия «число, которое делится на 2 и на 3» больше содержания понятия «число, которое делится на 2». Если же сравнить понятия «число, которое делится на 2 или на 3» и «число, которое делится на 2», то окажется, что сравнение содержаний по числу признаков не позволяет установить, содержание какого понятия больше.

В традиционной логике не различались логические и фактические содержания, а также логические и фактические объемы. Все это ставило под сомнение правильность закона обратного отношения. Приводились случаи отношений между объемами и содержаниями понятий, противоречащие закону. Известен следующий пример Больцано: содержание понятия (1) «человек, знающий все живые европейские языки», по его мнению, больше содержания понятия (2) «человек, знающий все европейские языки», но и объем первого понятия больше объема второго.

Чтобы сравнить содержания понятий, нужно выразить их на языке логики предикатов. Обозначим символами Р, Q, R соответственно выражения «европейский язык», «живой», «знающий». Получаем:

Введем точное определение выражения «содержание понятия хА(х) больше содержания понятия хВ(х)» (содержание понятия хВ(x) есть часть содержания понятия хА(х)). Содержание понятия хА(x) больше содержания понятия хВ(х), если, и только если, А(х) |- B(x) и неверно, что В(х) |- А(х).

Можно показать, что содержание второго понятия из примерa Больцано больше содержания первого, т.е. а обратное неверно.

1. по определению вывода на основе (1)-(11); у, х отмечены.

2. - из 1 по ДОП; выводимость является полностью обоснованной.

Обосновать выводимость не удается.

Таким образом, современная логика позволяет разрешить эту «проблемную» ситуацию.

Пример, подтверждающий необходимость различать фактическое и логическое содержания, а также фактический и логический объемы. Пусть даны понятия: (1) «живое существо, обладающее членораздельной речью»; (2) «живое существо, обладающее абстрактным мышлением и членораздельной речью». На языке логики предикатов эти понятия можно выразить так:

(1) xR(x); (2) x(Q(x) R(x)).

Очевидно, что логическое содержание второго из них больше логического содержания первого, так как Q(x) R(x) |- R(x) и неверно, что R(x) |- Q(x) R(x). Очевидно и то, что объемы этих понятий одинаковы. Как быть? Нужно различать указанные содержания и объемы. Здесь сопоставлялись логические содержания понятий (1) и (2) и их фактические объемы. Очевидно, что, используя наши знания о соотношении признаков человека, т.е. сопоставляя фактические (полные) содержания, мы обнаружим, что эти содержания равны.

8.3.

§ 3. Виды понятий

Понятия делятся на виды по: (1) количественным характеристикам объемов понятии; (2) типам обобщаемых предметов; (3) характеру признаков, на основе которых обобщаются и выделяются предметы. Большей частью эта классификация относится к простым понятиям (понятиям, содержание которых выражается простым предикатом) формы хА(х).

По количеству обобщаемых предметов понятия делятся на понятия с пустым (нулевым) объемом и понятия с непустым (ненулевым) объемом.

Пустым по объему называется понятие, в объеме которого нет ни одного предмета из рода понятия. Содержаниями таких понятий являются системы признаков, не принадлежащие ни одному предмету из рода. Примеры: (1) «вечный двигатель»; (2) «вещество, являющееся металлом и не являющееся электропроводным»; (3) «человек, знающий все европейские языки, но не знающий болгарского языка, являющегося европейским».

Пустота приведенных понятий обусловлена разными обстоятельствами. Первые два пусты из-за противоречивости их фактических содержаний , т.е. из-за противоречивости содержаний в рамках имеющегося знания. Содержание первого противоречиво в силу закона сохранения энергии. Содержание второго - в контексте со знанием «все металлы электропроводны».

Первые два понятия имеют пустой фактический объем. Логические же объемы этих понятий не пусты. Содержание третьего из приведенных выше понятий самопротиворечиво (логически противоречиво). Оно имеет пустой логический объем.

Фактическое содержание понятия хА(х) противоречиво, если и только если имеются знания, выраженные множеством высказываний Г, такие, что Г, А(х)|- пртч. (пртч. - противоречие), т.е. следует некоторая формула и ее отрицание, или некоторая формула или

Логическое содержание понятия хА(х) противоречиво, если и только если А(х) |- пртч. или |- А(х).

Противоречивость содержания понятия (как логического, так и фактического) может быть установлена при помощи исчисления предикатов. Рассмотрим второе понятие из приведенных выше. Заменим выражения «металл» и «электропроводное» соответственно символами Р и Q. Тогда понятие можно представить так: а знание «все металлы электропроводны» - формулой

Содержание же этого понятия представляете формулой .

1. - по определению вывода на основе (1)-(7).

Фактическое содержание рассматриваемого понятия противоречиво.

Содержание третьего из указанных выше понятий самопротиворечиво. Его символическая запись:

(Символы Р, R, а соответственно означают «европейский язык», «знающий», «болгарский язык».)

1. - пo определению вывода на основе (1)-(8).

Логическое содержание анализируемого понятия противоречиво.

Возникновение понятий, логическое содержание которых противоречиво, связано с ошибками в познании. Такие ошибки иногда совершаются при образовании сложных понятий, например, в математике.

Понятия, логические содержания которых непротиворечивы, а фактические противоречивы, возникают в следующих случаях.

Первый. В науке образуют понятия не только о тех предметах, существование которых установлено, но и о тех, существование которых лишь предполагается. При образовании понятий последнего типа проявляется активный характер познания. В результате дальнейших исследований может оказаться, что этим понятиям ничто, не соответствует в действительности, и их фактическое содержание противоречиво. Такими понятиями являются понятия теплорода, мирового эфира, живых существ, обитающих на Марсе. В момент образования таких понятий их фактическое содержание противоречивым не является. Оно становится таковым с развитием знания.

Второй. В науке образуются понятия, содержание которых с самого момента их образования является противоречивым в контексте всего имеющегося знания. Предметы, обобщаемые в этих понятиях, не существуют в действительности. Примеры таких понятий: «идеальный газ», «абсолютно черное тело». Понятия этого вида необходимы при построении теорий. В рамках этих теорий (в рамках универсума рассуждений) их содержания не являются противоречивыми.

Среди понятий с непустым объемом выделяют единичные и общие. B объеме единичного понятия содержится один элемент, а в объеме общего - более одного элемента. Общие делятся на универсальные и неуниверсальные. Объемом универсального понятия является весь универсум (род), а объемом неуниверсального - не весь.

По типу обобщаемых предметов понятия делятся на собирательные и несобирательные, а также на конкретные и абстрактные.

Элементами объемов собирательных понятий являются совокупности однородных предметов, мыслимые как целое, т.е. как некие агрегаты. Примеры собирательных понятий: «народ», «студенческая группа». В этих понятиях соответственно обобщаются народы и группы. Указанные понятия являются общими. Собирательные понятия могут быть единичными. Пример: «российский народ».

Элементами несобирательных понятий являются отдельные предметы. Примеры: «планета Солнечной системы», «Московский Государственный университет».

Конкретными называются понятия, в которых обобщены реально существующие предметы или их признаки.

Абстрактными являются понятия о так называемых абстрактных объектах. Абстрактные объекты вводятся посредством особых определений, называемых определениями через абстракцию. Эти определения бывают двух видов.

Первый. Множество предметов делится на подмножества. Например, тела делятся на множества. В каждое множество включается множество тел, с одной и той же силой притягиваемых к земле. Вес - то общее, что есть у всех тел, притягиваемых к земле с одной и той же силой. Это понятие предметной функции. Вес (данного тела) = определенное именованное число. Можно выделить виды весов: значительные, малые и т.д. То же самое можно сказать о храбрости: воинская, научная и т.д.

Другой вид определения через абстракцию. Множество предметов не делится на подмножества. Например, берутся все красные тела. Краснота - то общее, что есть у всех красных тел. Получаются вырожденные предметные функции. Краснота (данного предмета) имеет место или не имеет места. На основе абстрактного понятия первого типа можно образовать абстрактное понятие второго типа: весомость - то общее, что есть у всех тел, имеющих вес. Для последних понятий не всегда есть соответствующие выражения в естественном языке. Например, судимость - то общее, что есть у всех равносудимых людей. Как назвать то общее, что есть у всех людей имеющих судимость? Выражения нет.

По характеру признаков, на основе которых обобщаются и выделяются предметы, понятия делятся на положительные и отрицательные, а также на относительные и безотносительные.

Содержанием положительного понятия является положительный признак, а отрицательного - отрицательный. Примеры положительных понятий: «живущий по средствам», «говорящий по-английски». Примеры отрицательных понятий: «живущий не по средствам», «не говорящий по-английски».

Как применить это деление к сложным понятиям? Общего метода нет. Если содержание понятия можно представить в виде формулы

где есть

и есть такой член конъюнкции , что любой член дизъюнкции выражает простой отрицательный признак, то понятие является отрицательным. В противном случае понятие является положительным.

Пример сложного положительного понятия: «человек, знающий английский, немецкий и французский языки». Пример сложною отрицательного понятия: «человек, знающий английский и не знающий немецкого или французского языка».

Как и в предшествующем случае, дадим сначала характеристик простых относительных и безотносительных понятий.

Относительным является понятие, содержание которого представляет собой наличие или отсутствие отношения выделяемых предметов к некоторым другим предметам. Примеры: «мать», «отец».

Понятия, в одном из которых предметы выделены на основе их от ношения к другим предметам, а в другом - на основе отношения к первым, называются соотносительными. Пример: «причина», «следствие».

Структура простых относительных понятий: xR(x, а);

В безотносительных понятиях предметы выделяются на основе наличия или отсутствия у них характеристик самих предметов, не указывающих на отношения предметов к другим предметам.

Сложное понятие является относительным, если среди конъюнкции признаков, составляющих его содержание, есть простые признаки, представляющие собой наличие или отсутствие отношений. Пример сложного относительного понятия: «человек, имеющий высшее образование и не знающий русского языка».

Рассмотренное в этом параграфе деление на виды понятии о предметах можно распространить на понятия о системах предметов.

8.4.

§ 4. Отношения между понятиями

В педагогическом процессе, при изложении или построении какой-либо концепции и во многих других случаях важно не только указать вид вновь вводимого понятия, но и выяснить, в каком отношении находится это понятие к другим понятиям. Высказывания типа «это понятие близко такому-то понятию» только запутывают суть дела. Нужно точно указать вид отношения данного понятия к другим понятиям. Сделать это помогает логика.

Между понятиями, имеющими общий род, можно устанавливать отношения по содержаниям. Последним соответствуют определенные отношения по объемам, кроме случая, когда понятия находятся в отношении независимости по содержаниям (это отношение описывается ниже). Отношениям между понятиями по объемам не всегда соответствуют определенные отношения по содержаниям.

По содержаниям между понятиями существуют отношения, аналогичные отношениям между высказываниями. Рассмотрим отношения по логическим содержаниям. Пусть даны два понятия: (1) хА(х); (2) хВ(х).

Понятие (1) шире понятия (2) по содержанию (содержание понятия (1) больше содержания понятия (2)), если и только если А(х) |- В(х), и неверно, что В(х) |- А(х).

Если понятие (1) шире понятия (2) по содержанию, то в силу закона обратного отношения объем понятия (1) меньше объема понятия (2).

Понятия (1) и (2) эквивалентны по содержаниям, если и только если А(х) |- В(х); В(х) |- А(х). Объемы таких понятий равны. Например, «человек такой, что если он студент, то он отличник» и «человек такой, что он не студент или отличник».

Понятия (1) и (2) находятся в отношении противоречия (контрадикторности) по содержаниям, если и только если формулы А(х) и В(х) несовместимы по истинности и несовместимы по ложности. Пример: «студент, который сдал все экзамены», «студент, который не сдал некоторые экзамены». Объемы этих понятий не имеют общих элементов и исчерпывают весь универсум. Графически:

Понятия (1) и (2) находятся в отношении контрарности по содержаниям, если и только если формулы А(х) и В(х) несовместимы по истинности, но совместимы по ложности. Пример: «студент, который сдал все экзамены на отлично», «студент, который не сдал ни одного экзамена на отлично». Графически это отношение может быть представлено схемой:

Понятия (1) и (2) находятся в отношении субконтрарности по содержаниям, если и только если формулы А(х) и В(х) совместимы по истинности, но несовместимы по ложности. Пример: «студент, сдавший некоторые экзамены на отлично» и «студент, не сдавший некоторые экзамены на отлично». Графически:

Понятия (1) и (2) находятся в отношении логической независимости по содержаниям, если и только если формулы А(х) и В(х) логически независимы. Пример: «человек, который побывал в Москве «человек, который побывал в Архангельске». Отношение по объемам между этими понятиями не определено.

Указанные отношения имеют место между логическими содержаниями понятий. Аналогичные отношения можно устанавливать между фактическими содержаниями.

Поскольку определенным отношениям между понятиями по объемам не всегда соответствуют определенные отношения по содержаниям, рассмотрим особо отношения между понятиями по объемам.

По характеру отношений между объемами понятия, имеющие один и тот же род, делятся на совместимые и несовместимые.

Совместимыми называются понятия, объемы которых полностью или частично совпадают. Совместимыми являются понятия «слушатель» и «спортсмен», «юрист» и «следователь» и т.д. Несовместимыми называются понятия, не имеющие общих элементов объемов. Понятия «собственник» и «неимущий» являются несовместимыми.

Совместимые понятия могут находиться в отношениях: 1) равнозначности; 2) подчинения и 3) перекрещивания.

Охарактеризуем виды отношений между совместимыми понятиями.

В отношении равнозначности находятся понятия, объемы которых полностью совпадают. Например, понятия «живое существо, имеющее мягкие мочки ушей» и «живое существо, обладающее членораздельной речью» находятся в отношении равнозначности.

Если объем первого из них представить графически в виде круга А, а второго - в виде круга В, то отношение между этими понятиями по объемам будет представлено схемой:

В отношении подчинения находятся понятия, объем одного из которых полностью входит в объем другого, но обратное не имеет места. В этом отношении находятся понятия «юрист» (А) и «адвокат» (В). Графически это отношение представляется так:

Понятие большого объема, в данном случае «юрист», называется подчиняющим, а понятие меньшего объема, в данном случае «адвокат», называется подчиненным.

В отношении перекрещивания находятся понятия, объем одного из которых частично входит в объем другого, а объем другого частично входит в объем первого. В отношении перекрещивания находятся, например, понятия «студент» (А) и «спортсмен» (В). Графически это отношение изображается так:

Особым видом отношения между несовместимыми понятиями является отношение соподчинения.

В отношении соподчинения к некоторому понятию находятся дна несовместимых понятия, каждое из которых является подчиненным по отношению к этому третьему понятию. Иными словами, два понятия находятся в отношении соподчинения к третьему понятию, если они не имеют общих элементов объемов и это третье понятие является подчиняющим для каждого из них. Например, понятия «получение взятки» (В), «незаконное изготовление спиртных напитков» (С) находятся в отношении соподчинения к понятию «преступление» (А). Отношение соподчинения представляется следующими круговыми схемами:

Если отношение между объемами понятий представляется первой из этих схем, то это еще не означает, что понятия находятся в отношении противоречия по логическим или фактическим содержаниям.