Язык логики предикатов второго порядка 5 страница

3. Индуктивные определения.

Примером индуктивного определения может служить определение формулы языка логики предикатов (и логики высказываний).

Еще пример. Определение числа:

1) 0 - натуральное число;

2) если х - натуральное число, то х' - натуральное число;

3) ничто иное не является натуральным числом.

«х'» означает «число, следующее за х».

4. Рекурсивные определения. Определение функции сложения, которому предшествует индуктивное определение числа.

1. x + 0 = x;

2. х + у' = (х + у)'.

Правила определения. Ошибки в определениях

Излагаемые правила относятся к реальным определениям. (Второе и третье из этих правил применимы также к номинальным определениям.)

Правило 1. Определение должно быть соразмерным, т.е. значения (объемы) определяемого и определяющего выражений должны совпадать (должны быть равны друг другу).

Обозначим объемы дефиниендума и дефиниенса соответственно Wdfd и Wdfn. Указанное требование запишем: «Должно быть так, что Wdfd = Wdfn».

Возможные нарушения правила соразмерности представляются круговыми схемами:

Этим ситуациям соответствуют следующие ошибки, возникающие при нарушении первого правила.

а) «Слишком широкое определение». Дефиниенс шире дефиниендума по объему. Примеры: «Логика - это наука о мышлении»; «Человек есть двуногое бесперое животное». Бывают случаи, когда находят ошибку «слишком широкое определение» там, где ее нет. Это происходит при неправильном отождествлении суждения, не выражающего определения, с суждением, в котором представлен результат определения, поскольку то и другое имеет структуру «А есть В». Чтобы не возникало указанного смешения и нельзя было бы критиковать авторов, высказывающих те или иные истинные утверждения (в форме суждений), за неправильные определения терминов (а истинное суждение не всегда выражает правильное определение), необходимо все определения в тексте выделять (подчеркиванием, особым шрифтом, словами «называется», «определим такое-то выражение так-то» и т.д.).

б) «Слишком узкое определение». При этой ошибке объем дефиниенса меньше объема дефиниендума. Примеры: «Озеро - замкнутый в берегах большой естественный водоем с пресной водой»; «Смерть - естественный конец всякого живого существа» (а неестественный?); «Совесть - это осознание человеком ответственности перед самим собой за свои поступки» (а перед обществом?).

в) «Перекрещивающееся определение». Объемы дефиниендума и дефиниенса находятся в отношении перекрещивания. Пример: «Философ - это человек, разрабатывающий научную методологию».

г) Ошибка, соответствующая последней схеме, называется «определено 'как попало'». О такой ошибке идет речь в следующей шуточной истории: «Когда известный естествоиспытатель Кювье зашел в Академию наук (в Париже), где работала комиссия по составлению энциклопедического словаря, его попросили оценить определение слова «рак», которое только что удачно было найдено. «Мы нашли определение понятия 'рак', - сказали члены комиссии, - вот оно: 'Рак - небольшая красная рыбка, которая ходит задом наперед'. - 'Великолепно, - сказал Кювье. - Однако разрешите мне сделать небольшое замечание... Дело в том, что рак не рыба, он не красный и не ходит задом наперед. За исключением всего этого, ваше определение превосходно'» .

Можно особо отметить случай определения с этой ошибкой, когда объем определяющего термина - пустое множество.

Пример. «Материализм - теория, которая рассматривает Вселенную как нечто, состоящее только из твердых объектов». (Определение материализма, данное Роном Хаббардом в книге «Дорога к счастью», перепечатанной «Аргументами и фактами», № 10, 1993 г.).

Правило 2. Определение не должно заключать в себе круга. При нарушении данного правила возникает ошибка, имеющая название «круг в определении». Суть этой ошибки в следующем: dfd определяется посредством dfn, а последний непосредственно или опосредованно определяется при помощи dfd.

Пример. «Логика - наука о правильном мышлении»; «Правильное мышление - логичное мышление». «Логичное мышление - это мышление, согласуемое с правилами логики». Указанная ошибка встречается даже в учебниках. Например, в учебниках по диалектическому материализму можно было встретить определение сущности как совокупности внутренних, необходимых связей объекта, а необходимости - как таких сторон и связей, которые обусловлены сущностью.

Разновидностью круга в определении является ошибка «тавтология», или «то же через то же» (лат. «idem per idem»). Тавтологичными называют определения, в которых dfn повторяет dfd, но, может быть, другими словами. Примеры: «Возможность - это то, что может быть, а может и не быть»; «Количество - характеристика предметов с количественной стороны».

Правило 3. Определение должно быть ясным, т.е. должны бы и. известны смыслы или значения терминов, входящих в дефиниенс в частности, дефиниенс не должен содержать выражений, в свою очередь требующих определения. При нарушении этого правила возникает ошибка «неясное определение». Примеры неясных определений: «Красота есть индивидуально-неповторимое выражение родового»; «Профессиональная этика советского офицера есть проявление общего в особенном».

Иногда за определения выдаются высказывания, содержащие метафоры. Эти метафоры в какой-то мере поясняют дефиниендум, но как определения являются неясными. Примеры: «Повторение - мать учения»; «Лев - царь зверей».

Правило 4. Нельзя принимать номинальные определения за реальные.

Как уже отмечалось, утверждения, соответствующие номинальным определениям, не должны оцениваться как истинные или ложные. Истолковывая номинальные определения в качестве реальных, к ним добавляют новую, не содержащуюся в них информацию. Этой информацией может быть утверждение о существовании предметов, обозначаемых дефиниендумом. В результате такого истолкования могут быть получены ложные утверждения, поскольку дефиниендум номинального определения не обязательно является непустым термином.

Рассмотрим пример истолкования номинального определения в качестве реального. Пусть имеется номинальное определение: «Бог - это совершенное существо». Другое номинальное определение: «Совершенное существо - то, которое обладает всеми свойствами объективно существующего предмета, а также свойствами всеведения, всемогущества и т.д.». Можно ли, приняв эти определения за посылки, сделать вывод о том, что Бог существует? Это возможно в одном случае - при истолковании указанных определений в качестве реальных. Если эти посылки окажутся истинными суждениями, то и заключение будет истинным. Но поскольку определения являются номинальными, их нельзя считать ни истинными, ни ложными и нельзя сделать указанного вывода.

Допустив истинность посылок при истолковании номинальных определений в качестве реальных, допускают существование Бога. Из допущения существования Бога делается вывод о том, что Бог существует. Таким образом, этим рассуждением доказывают не существование Бога, а суждение: «Если Бог существует, то он существует».

Правило 5. Определение должно быть эффективным, т.е. должен быть указан способ распознавания признаков, выражаемых дефиниенсом.

Осуществляя определения, важно руководствоваться также требованием раскрывать лишь основное содержание определяемого термина. Так, в определении понятия «изомеры - это вещества, имеющие одинаковый состав молекул (одну и ту же молекулярную формулу), но различное химическое строение и обладающие поэтому (по крайней мере некоторыми) различными химическими или физическими свойствами» признак «обладающие (по крайней мере некоторыми) различными химическими или физическими свойствами» является излишним, поскольку до определения в тексте, из которого взято определение, сказано, что вещества, имеющие различное химическое строение, обладают (по крайней мере некоторыми) различными химическими или физическими свойствами.

Следует также учитывать, что при различных основных содержаниях термина его полное содержание в данном контексте может быть одним и тем же. В силу этого два различных определения термина могут быть эквивалентными по фактическим содержаниям. Кроме того, одно и то же основное содержание может быть выражено различными знаковыми формами. По этой причине различные по знаковым формам определения могут оказаться эквивалентными.

Рекомендуется не определять выражения без необходимости.

Пример. «Зуб - образование, состоящее в основном из твердых тканей (дентин, эмаль, цемент), расположенное в альвеолах челюстей и предназначенное для откусывания и разжевывания пищи». (Терапевтическая стоматология. М., 1989. С. 31). Из каких тканей состоит зуб, в учебнике сказано. Другие признаки зуба, указанные в определении, очевидны. Зуб нельзя перепутать с какой-то иной частью тела. Определение излишне.

Как уже было сказано, в научных определениях требуется раскрыть существенные стороны предметов. Эту задачу ставил еще Аристотель. Он считал, что в определении путем указания рода и видового отличия родовой признак должен указывать на сущность, общую у определяемых предметов с другими предметами рода, а видовое отличие - на специфическую сущность вида, т.е. выделяемых предметов.

9.2.

§ 2. Приемы, сходные с определением

Часто для разъяснения выражений используют приемы, которые называют приемами, сходными с определением. Это описание, характеристика, определение-характеристика, сравнение, разъяснение посредством примеров, в том числе такой частный случай последнего приема, как остенсивное определение.

Описание. Этот прием применяется на начальных этапах познания, когда стремятся выявить возможные свойства предметов. Среди этих свойств могут быть отличительные и неотличительные, существенные и несущественные и т.д. При описании не проводится различие между этими свойствами, поскольку преследуется лишь. одна цель - выявить как можно больше свойств. Описания позволяют разъяснять языковые выражения, однако с их помощью не всегда удается выделить класс предметов, обозначаемых термином, и выявить существенные признаки предметов. (Студент на экзамене вместо определения и изложения полного содержания понятия дает описание. Свидетели, бывшие на месте преступления, дают описание преступника. Следователь описывает место совершения преступления, отражая все факты как можно полнее.)

Приемом, более близким к определению, чем описание, является характеристика. При описании не всегда указывают отличительные признаки предметов, при характеристике такая задача ставится в качестве желательной. Давая характеристику, раскрывают все стороны предмета, важные в каком-то отношении, но не обязательно отличающие предмет от других предметов. Например, древние греки (афиняне) давали такую характеристику друга народа. «...У друга народа должны быть вот какие качества. Во-первых, он должен быть свободнорожденным как по отцу, так и по матери, чтобы вследствие неблагополучного происхождения не встала в нем обида на законы, которыми держится народная власть. Во-вторых, предки его должны иметь заслуги перед народом или по крайней мере никакой вражды с народом, чтобы месть за невзгоды предков не толкнула его против нашего государства. В-третьих, он должен быть умерен и здравомыслен в повседневном образе жизни, чтобы из-за разнузданного расточительства не поддаться подкупу во вред народу. В-четвертых, он должен быть благомыслящим и красноречивым: хорошо, когда силою ума человек может выбрать наилучшее решение, а силою образования и красноречия убедить в нем слушателей; если же этого не дано, то благомыслие в любом случае важнее красноречия. В-пятых, наконец, он должен быть мужествен духом, чтобы не покинуть народ в час беды и опасности» .

Определение-характеристика - это прием, который заключается в слишком широком определении выражения, дополненном характеристикой определяемых предметов, что позволяет отличить определяемые предметы от других предметов.

Пример. Отрицание суждения - это логическая операция, которая заключается в образовании из некоторого суждения другого суждения, находящегося в отношении контрадикторности к исходному, и осуществляемая по следующим правилам. (Правила перечисляются.) Характеристикой здесь являются перечисляемые правила.

Выражения языка могут разъясняться также при помощи такого приема, как сравнение. Примеры: злость сходна с кратковременным помешательством; любовь сходна с более длительным помешательством (по свидетельствам психиатров, такое помешательство, как правило, длится 2 года 6 месяцев).

Разъяснение посредством примеров. Этот прием применяется для разъяснения выражения вместо определения, когда определять выражение не нужно (когда примера достаточно), а также когда не удается дать определение (на данном этапе познания). Он применяется также в качестве приема, сопровождающего определение (до определения или после определения) для лучшего понимания языкового выражения.

Частным случаем разъяснения выражений посредством примеров является остенсивное определение (от лат. ostensio - показывание), т.е. прием разъяснения языкового выражения путем указания предметов, действий или ситуаций, обозначаемых этим выражением.

Остенсивные определения иногда применяются в процессе обучения иностранным языкам, при обучении маленьких детей. Ребенку показывают собаку и говорят: «Это собака». Остенсивное определение хотя и называется определением, но таковым не является, так как не придает точного смысла языковому выражению.

 

10.

ГЛАВА IX. ДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ

10.1.

§ 1. Деление

Понятие и виды деления

Деление - это выделение частей объема общего имени или частей значения единичного имени на основе характеристики, называемой основанием деления. Чаще всего имена, над которыми про изводится операция деления, выражают понятия, поэтому исходное имя называется делимым понятием, а имена получаемых частей - членами деления. Если выделяются части объема общего имени, то деление называется таксономическим, а если части значении единичного имени, то деление называется мереологическим.

Таксономическое деление. Различают таксономические деления по изменению видообразующего признака и дихотомическое.

В делениях по изменению видообразующего признака члены деления выделяются на основании изменения характеристики, выступающей в качестве основания деления. Например, выводы из категорических суждений можно делить на умозаключения из одной посылки и умозаключения из двух и более посылок. Делимое понятие здесь является родовым по отношению к членам деления - видовым понятиям (в отдельных случаях членами деления могут быть единичные понятия). В большинстве случаев такое деление производится на основе добавления к видовому признаку исходного понятия новых признаков, присущих одним предметам рода и не присущих другим, т.е. на основе изменения видового признака.

Общим признаком выводов из категорических суждений является связь по формам между такими суждениями, при которой при истинности посылок заключение является истинным. При делении к этому признаку последовательно добавляются специфические признаки указанных видов умозаключений. Таким образом, если исходное понятие имеет вид хА(х), где А(х) - родовой признак делимого понятия, то видовыми признаками членов деления будут и , а содержаниями полученных понятий - признаки и .

Другой пример: деление людей по образованию. Исходное понятие: «человек, имеющий какое-то образование», символически: - «человек такой, который имеет некоторое образование». Пусть - соответственно символы для терминов «неполное среднее образование», «среднее образование», «высшее образование». Получаем видовые, по отношению к делимому, понятия То есть изменения видообразующего признака могут быть различными.

Сами видовые понятия, получаемые в результате деления исходного понятия, тоже могут оказаться объектами деления. В таком случае деление будет многоступенчатым. Например, государства можно делить на виды по месту расположения, а затем делить с точки зрения государственного устройства: унитарные (единое государственное образование); федерации (союз юридически относительно самостоятельных государственных образований - союзных республик, штатов, земель и т.д.); конфедерации (государственно-правовые образования).

Дихотомическое деление - это деление объема понятия на два класса, понятия о которых находятся в отношении противоречия. Слово «дихотомия» имеет греческое происхождение и может быть переведено как «деление на две части», а буквально означает «сечение на две части». Пример: вещества делятся на органические и неорганические.

Дихотомическое деление тоже может быть многоступенчатым.

Например, эксперты делятся на сведущих и несведущих, а те и другие - на добросовестных и недобросовестных.

Мереологическое деление. От таксономического деления нужно отличать операцию членения предмета на составляющие части, или операцию анализа.

При таксономическом делении между делимым понятием и членами деления (их объемами) должно иметь место отношение «род-вид». Это отношение (таксономическое) и дало название указанному виду деления. (Таксономия - расположение в закономерном порядке. Этот термин заимствован из биологии, где классификация объектов по типу «род-вид» широко распространена.) В соответствии с такой терминологией объемы видовых понятий называются таксонами.

Между результатами анализа и исходным объектом имеет место отношение «часть-целое», называемое мереологическим отношением. (Последний термин получил распространение после появления работ польского логика С. Лесневского, назвавшего мереологией раздел логики, в котором описывается указанное отношение.)

В настоящее время делением называют не только таксономическое, но и членение значения понятия о предмете по типу «целое-часть» в аспекте какой-либо характеристики частей. Деление последнего вида называется мереологическим. При этом делении осуществляется переход от понятия о предмете (делимого понятия) к понятиям о частях этого предмета (к членам деления).

Мереологическое деление может быть одноступенчатым и многоступенчатым.

Каким является следующее деление? Стратегические вооружения делятся на наступательные и оборонительные; наступательные - на межконтинентальные баллистические ракеты (МКБР) баллистические ракеты на подводных лодках (БРПЛ), стратегические бомбардировщики (СБ); оборонительные - на наземные cистемы противоракетной обороны (НЗСПРО), космические системы противоракетной обороны (КСПРО), воздушные системы противоракетной обороны (ВСПРО).

Наглядно:

Это многоступенчатое таксономическое деление. Правильное оно или нет? Очевидно, что неправильное, поскольку КСПРО являются также видом наступательного оружия. Как исправить деление? Будет ли деление правильным, если КСПРО включить также в класс видов наступательных вооружений? Чтобы отвечать на вопросы такого типа, нужно изучить правила деления.

Правила деления

Обычно в учебниках логики формулируются лишь правила таксономического деления. Эти правила можно распространить и на мереологическое деление.

Правило 1. Деление должно быть соразмерным, т.е. в случае таксономического деления объединение объемов членов деления должно дать объем делимого понятия, а в случае мереологического деления мысленное соединение значений членов деления (частей предмета) должно составить делимый предмет.

При нарушении этого правила могут возникать следующие ошибки:

(а) «Неполное деление». Эта ошибка имеет место, если объединение объемов членов деления в случае таксономического деления составляет лишь часть объема делимого понятия (не совпадающую с объемом), а в случае мереологического мысленное соединение частей составляет лишь часть делимого предмета (не совпадающую с предметом). Пример: треугольники делятся на остроугольные и тупоугольные (пропущен член «прямоугольные треугольники»);

(б) «Деление с излишними членами». Эта ошибка совершается в тех случаях, когда в число членов деления включают понятия, объемы которых не входят в объем делимого понятия (в случае таксономического деления), а также когда к членам деления относят понятия, значения которых не являются частями делимого предмета (в случае мереологического деления). Примеры: химические элементы делятся на металлы, неметаллы и сплавы (сплавы не являются химическими элементами).

Правило 2. Деление должно производиться по одному основанию, т.е. характеристика, выбираемая в качестве основания деления, в ходе деления не должна подменяться другой характеристикой.

При нарушении этого правила возникает ошибка, имеющая название «сбивчивое деление». Пример сбивчивого деления: преступления делятся на раскрытые, нераскрытые и преднамеренные. Члены деления «раскрытые преступления» и «нераскрытые преступления» выделены по одному основанию, а член деления «преднамеренные преступления» - по другому.

Это правило относится к таксономическому делению. Его можно распространять и на мереологическое деление. Например, по той специальности, которую получают студенты философского факультета МГУ, факультет можно разделить на отделения философии и политологии. Если часть членов мереологического деления выделяется в аспекте одного основания, а часть - в аспекте другого, то деление является сбивчивым.

Правило 3. Члены деления должны исключать друг друга, т.е. их объемы не должны иметь общих элементов в случае таксономического деления и их значения не должны иметь общих частей в случае мереологического деления. Пример: треугольники делятся на равнобедренные, равносторонние и разносторонние (члены деления не исключают друг друга).

Правило 4. Деление должно быть последовательным, т.е. в случае таксономического деления от родового понятия следует переходить к видовым понятиям одного и того же уровня, а в случае мереологического - от целого к его частям, а от частей - к частям частей и т.д.

Ошибка, возникающая при нарушении этого правила, носит название «скачок в делении». Примеры неправильных делений: живые существа делятся на растения, позвоночных животных и беспозвоночных животных; скелет человека делится на скелет позвоночника, скелет грудной клетки, скелет головы и скелеты конечностей. Примеры правильных делений: живые существа делятся на растения и животных, растения - на однолетние и многолетние, животные - на позвоночных и беспозвоночных; скелет человека делится на скелеты конечностей, скелет туловища и скелет головы.

10.2.

§ 2. Классификация

Классификация - это особого вида деление или система мереологических или таксономических делений. (В одной и той же классификации могут встречаться как таксономические, так и мереологические деления.)

Классификации отличаются отделений, не являющихся таковыми, рядом свойств.

Свойство первое. Классификация - это деление или система последовательных делений, которые произведены с точки зрения характеристик, в частности признаков, существенных для решения теоретической или практической задачи.

Признаки могут быть безотносительно существенными и существенными в некотором отношении. Классификация возможна по тем и другим. Например, признак химических элементов «иметь определенный заряд ядра» является безотносительно существенным. Этот признак, наряду с другими, выступает в качестве основания деления в периодической системе химических элементов. На основе безотносительно существенного признака, которым является тот или иной способ производства, произведена классификация общественно-экономических формаций. На основе безотносительно существенных признаков делят людей на классы.

Тот или иной вес не является существенным признаком человека. Однако при решении некоторых практических задач его важно учитывать. Например, первоначально при космических полетах было важно учитывать вес космонавта. Значит, в указанном отношении вес являлся существенным признаком.

При проведении классификации в процессе преподавания важно учитывать ее цель, т.е. указывать, решению каких задач способствует данная классификация. Например, в курсе философии так классифицируют методы научного познания. Их делят на общенаучные, междисциплинарные и частнонаучные. Неясно, какова цель такой классификации. Целесообразнее делить методы по степени общности на всеобщие, методы средней общности и методы-алгоритмы. Первые - это философские методы, они дают общее на правление познанию, вторые - методы конкретных наук, которые конкретизируют это направление, третьи - те, которые обязательно приводят к желаемому результату. Данная классификация проводится в аспекте следующей цели: выявить место тех или иных методов прежде всего философских, в процессе познания сложных явлений.

Чаще всего трудность классификации заключается именно в нахождении характеристики, используемой в качестве основания системы делений и важной для решения тех или иных теоретических или практических проблем.

При классификации нужно так распределить предметы по группам, чтобы по их месту в классификации можно было судить об их свойствах. Это второе свойство классификации (например, по месту химических элементов в периодической системе Д.И. Менделеева можно судить об их свойствах).

Третье свойство. Результаты классификации представляются или, по крайней мере, могут быть представлены в виде таблиц или схем.

Пример таблицы - таблица Д.И. Менделеева. Пример схемы - классификация суждений о двухместных отношениях по количеству. Пусть - множество суждений о двухместных отношениях, индексы 1, 2, 3 у буквы К имеют такой смысл: первый (или единственный) индекс соответствует первой количественной характеристике суждения, а второй - второй характеристике, причем 1, 2, 3 соответствуют характеристикам суждений в качестве общего, частного и единичного. Например, буквой обозначается частное суждение, а буквой - обще-частное

.

Эту классификацию можно представить в виде таблицы:

 

К 1,1	К 1,2	К 1,3
К 2,1	К 2,2	К 2,3
К 3,1	К 3,2	К 3,3

В процессе классификации необходимо соблюдать перечисленные выше правила деления.

В качестве примера классификации приведем деление Эпикуром желаний на естественные и необходимые, естественные, но не необходимые, неестественные и не необходимые. Схема:

Желания неестественные и необходимые () Эпикур не указал.

Создавая классификации, важно учитывать их относительный характер, поскольку классификация часто является огрубление действительного положения дел. Например, она может не учитывать переходных форм явлений. Кроме того, социальные явления (и не только они) развиваются, изменяются. С течением времени классификация может им соответствовать не в полной мере.

Кроме рассмотренной классификации, называемой естественной, в повседневной жизни, а также в науке на начальных стадия исследования применяется так называемая искусственная классификация, т.е. распределение предметов на классы по несущественным признакам. Такой классификацией, например, является распределение фамилий в алфавитном порядке.

Искусственная классификация интересных идей может производиться при чтении научной и другой литературы. Можно, например пронумеровать тетради, в которых делаются заметки. Пусть это будут тетради А, В и С. Можно в каждой тетради нумеровать работы (книги, статьи и т.д.), при чтении которых делаются заметки - отмечаются интересные мысли, факты, собственные соображения читающего и т.д., а также нумеровать сами заметки. Например, сделаны заметки 1 - 124 относительно книги, получившей номер 6 в тетради В. Указанная классификация идей не является, конечно, естественной, но ее можно использовать для нахождения нужного вспомогательного материала при написании научной работы.

Научная работа (статья, дипломная работа, диссертация) пишется на основе плана. План представляет собой естественную классификацию, являющуюся многоступенчатым делением, чаще все системой таксономических и мереологических делений. Составлению плана предшествуют формулировка проблемы, которую предстоит решить, и нахождение идеи ее решения. При составлении плана должны соблюдаться все правила деления.