Диаметры конического сечения

Диаметром эллипса или гиперболы будем называть любую прямую, проходящую через центр конического сечения.

Диаметром параболы называется произвольная прямая, параллельная её оси, в частности, сама ось.

Прямая пересекает коническое сечение не более чем в 2-х точках. Если точек пересечения две, то отрезок прямой с концами в точках пересечения называется хордой.

Теорема. Середины параллельных хорд конического сечения лежат на диаметре. Этот диаметр называется сопряжённым направлению хорд.

Это свойство очевидно, если хорды перпендикулярны оси симметрии. Тогда середины хорд лежат на этой оси.

Рассмотрим общий случай. Семейство параллельных прямых, не параллельных осям координат, зададим уравнением

y = kx + t, (1)

где k = const, k ≠ 0, t ≠ const.

Уравнения эллипса и гиперболы можно объединить следующей записью:

, ( >0, ≠ ). (2)

Координаты концов любой хорды удовлетворяют системе (1),(2). Подставляя в уравнение (2) вместо y выражение (1), получим уравнение, которому удовлетворяют абсциссы концов хорды:

, ,

При приведём уравнение к виду

По теореме Виета .

Абсцисса середины хорды . (3)

Ординату середины найдём, подставляя в уравнение (1):

. (4)

Разделим (4) на (3) и выразим : .

Опустим значок «с» и обозначим k´= (5)

Тогда y = k´ x/ (6)Таким образом, середины параллельных хорд лежат на прямой (6) с угловым коэффициентом (5), проходящей через центр эллипса или гиперболы, т.е. на диаметре.

Диаметр (6) называется сопряжённым по отношению к диаметру y=kx,параллельному хордам (1).

Свойство сопряжённости диаметров эллипса и гиперболы взаимно.

В самом деле: угловой коэффициент k´´ диаметра, сопряжённого диаметру (6) с угловым коэффициентом k´ находится по той же формуле (5):