2017-11-01
1528
Коническое сечение имеет фокус и директрису. У эллипса и гиперболы есть ещё один фокус и директриса. Действительно, пусть коническое сечение – эллипс:
. (1)
В каноническом расположении его директриса 
параллельна оси у, а фокус 
расположен на оси х. Такой эллипс симметричен, в частности, относительно оси у, поэтому у него есть фокус 
и директриса 
, симметричные фокусу 
и директрисе 
.
Аналогичным рассуждением устанавливается существование 2-х фокусов и двух директрис у гиперболы
. (2)
Теорема. Сумма расстояний от произвольной точки эллипса до его фокусов постоянна, т.е. не зависит от точки.
Теорема. Разность расстояний от произвольной точки гиперболы до ее фокусов постоянна.
Пусть c – расстояние от центра эллипса (1) до фокусов. Сумма расстояний от вершины (o, b) до фокусов равна 
. Сумма расстояний от вершины (а, о) до фокусов равна 2а. Эти суммы должны быть равны 
=2а, 
, 
. (3).
Следовательно, для эллипса 
. (3 ´)
Пусть с – расстояние от центра гиперболы (2) до фокусов.
Для гиперболы справедливо другое соотношение 
, (4)
откуда
. (4´)
