2017-11-01
1113
Следствием двух основных теорем теории вероятностей – теоремы сложения и теоремы умножения – является формула полной вероятности и формула Байеса.
Постановка задачи. Пусть событие А может наступить при условии появления одного их несовместных событий B 1, B 2,…, Bn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий P (B 1), P (B 2),…, P (Bn) и условные вероятности 
события А. Требуется найти вероятность события А, т.е. P (A).
Т.6.1. Если событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B 1, B 2,…, Bn, образующих полную группу, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие условные вероятность события А:
или
(9)
Формула (9) называется формулой полной вероятности, а события B 1, B 2,…, Bn ‒ гипотезами.
Следствие. Так как события B и 
несовместны и образуют полную группу, то
Формулы Байеса
Следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности являются так называемые формулы Байеса.
|
|
|
Байес (Бейес) Томас (1702-1761) – англ. математик. Работы по теории вероятностей. Сохранилась терминология: бейсовский подход к статистическим законам, бейсовская оценка решения и др.
Постановка задачи. Пусть событие А может наступить при условии появления одного их несовместных событий B 1, B 2,…, Bn, образующих полную группу. Вероятность появления события А находится по формуле полной вероятности, т.е. по формуле (9): 
Допустим, что произведено испытание, в результате которого событие А появилось. Требуется найти вероятности гипотез B 1, B 2,…, Bn после испытания, т.е. условные вероятности РА (B 1), РА (B 2),…, РА (Bn).
Решение
Найдем условную вероятность РА (B 1). По теореме умножения имеем
Отсюда
С учетом формулы (9) получим 
Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез:
(10)
Формулы (10) называются формулами Байеса.
Формулы Байеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
Замечание. Первоначальные вероятности P (Bi) гипотез Bi называются априорными вероятностями (от лат. a priori, что означает «сперва», т.е. в данном случае до того, как был произведен опыт). Вероятности РА (Bi) гипотез Bi, найденные после испытания, называются апостериорными вероятностями (от лат. a posteriori, что означает «после», т.е. в данном случае после опыта).
Пример 7. В группе 5 отличников, 10 хорошистов, 6 троечников и 2 двоечника. К экзамену по математике отличники знают все 25 билетов, хорошисты – 20 билетов, троечники – 15 билетов и двоечники – 5 билетов.
|
|
|
1) Найти вероятность того, что наугад вызванный студент ответит на «5».
2) Вызванный студент ответил на «5». Из какой он вероятнее всего группы?
Решение
1) Событие А = {студент ответил на «5»}
Гипотезы:
B 1 = {студент - отличник}; B 2 = {студент - хорошист};
B 3 = {студент - троечник}; B 4 = {студент - двоечник}.
Формула полной вероятности: 
5 + 10 + 6 + 2 = 23 – всего студентов
Вероятности гипотез: P (B 1) = 5/23, P (B 2) = 10/23, P (B 3) = 6/23, P (B 4) = 2/23
Контроль: 5/23 + 10/23 + 6/23 + 2/23 = 1.
Условные вероятности события А:
PB 1(A) = 25/25 = 1, PB 2(A) = 20/25 = 4/5, PB 3(A) = 15/25 = 3/5, PB 4(A) = 5/25 =1/5.
По формуле полной вероятности: Р (А) = 5/23 · 1 + 10/23 · 4/5 + 6/23 · 3/5 + 2/23 · 1/5 = 17/23.
2) По формулам Байеса переоценим вероятности гипотез после испытания:
Вывод: ответивший на «5» студент вероятнее всего является хорошистом.
