2017-11-01
617
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Учебные вопросы
1. Действия над событиями.
2. Независимые и зависимые события. Условная вероятность.
3. Теоремы умножения вероятностей.
4. Теоремы сложения вероятностей.
5. Вероятность появления хотя бы одного события.
6. Полная вероятность. Формулы Байеса.
Вопрос 1. Действия над событиями
О.1.1. Суммой двух событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В.
Если А и В – совместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе.
Если А и В – несовместные события, то их сумма А + В обозначает наступление или события А, или события В.
О.1.2. Произведением двух событий А и В называется событие С = А·В, состоящее в совместном наступлении событий А и В.
Аналогично определяется сумма и произведение любого конечного числа событий.
О.1.3. Разностью двух событий А и В называется событие С = А - В, состоящее в наступлении события А и не наступлении события В.
|
|
|
Пример 1.
Испытание: из орудия произведены два выстрела.
Событие А = {попадание при первом выстреле}
Событие В = {попадание при втором выстреле}
1) А + В = {попадание или при первом выстреле, или при втором выстреле, или при обоих выстрелах}
Другими словами, А + В = {попадание хотя бы при одном выстреле}
2) А · В = {попадание при первом выстреле и при втором выстреле}
3) А - В = {попадание при первом выстреле и промах при втором выстреле}
Вопрос 2. Независимые и зависимые события. Условная вероятность
О.2.1. Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называются зависимыми.
Пример 2.
Испытание: из урны, содержащей белые и черные шары, последовательно извлекаются два шара.
Событие А = {первый шар белый}.
Событие В = {второй шар белый}.
Если выборка осуществляется с возвращением, то события А и В – независимые, а если без возвращения, то события А и В – зависимые.
О.2.2. Несколько событий А 1, А 2, …, Ak называются попарно независимыми, если каждые два из них независимы.
О.2.3. Несколько событий А 1, А 2, …, Ak называются независимыми в совокупности или просто независимыми, если независимы любые два из них и независимы любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. В противном случае события А 1, А 2, …, Ak называются зависимыми.
Для характеристики зависимых событий используется понятие условной вероятности.
Пусть А и В – зависимые события.
|
|
|
О.2.4. Условной вероятностью события В называется вероятность данного события, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.
Обозначение: PA (B) или P (B | A).
Аналогично определяется условная вероятность события А: PB (A) или P (A | B).
Замечание. Если А и В – независимые события, то их условные вероятности совпадают с обычными безусловными вероятностями:
PA (B)= P (B) и PB (A) = P (A). (1)
Замечание. Как было отмечено ранее, вероятность Р (В) как мера степени объективной возможности наступления события В имеет смысл при выполнении определенного комплекса условий. Таким образом, «безусловная» вероятность Р (В), строго говоря, является условной. Разница между безусловной вероятностью Р (В) и условной вероятностью PA (B) заключается только в том, что последняя вероятность вычисляется при дополнительном условии, что произошло событие А.
Вопрос 3. Теоремы умножения вероятностей
Случай 1. А и В – зависимые события
Постановка задачи. Пусть А и В – зависимые события, вероятности которых Р (А) и PA (B) известны. Требуется найти вероятность их совместного появления, т.е. Р (АВ).
Т.3.1.(теорема умножения вероятностей зависимых событий)
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло:
Р (АВ) = Р (А) · PA (B). (2)
Замечание. Применив формулу (2) к событию ВА, имеем:
Р (ВА) = Р (В) · PВ (А),
или
Р (АВ) = Р (В) · PВ (А). (3)
Из формул (2) и (3) следует
Р (АВ) = Р (А) · PA (B) = Р (В) · PВ (А).
Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий А 1, А 2, …, Ak равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошли:
.
Пример 3. В урне 5 белых и 4 черных шара. Последовательно извлекаются 3 шара (без возвращения). Найти вероятность того, что первый шар белый (событие А 1), второй шар черный (событие А 2) и третий шар белый (событие А 3).
Решение
Так как выборка осуществляется без возвращения, то события А 1, А 2, A 3 зависимые.
