Характеристики загасання коливань

КОЕФІЦІЄНТ ЗАГАСАННЯ КОЛИВАНЬ

ЧАС РЕЛАКСАЦІЇ — час, за який амплітуда коливань зменшується в е раз.

ДЕКРЕМЕНТ ЗАГАСАННЯ КОЛИВАНЬ дорівнює відношенню двох сусідніх, амплітуд:

ЛОГАРИФМІЧНИЙ ДЕКРЕМЕНТ ЗАГАСАННЯ КОЛИВАНЬ

ДОБРОТНІСТЬ — це енергетична характеристиказагасання коливань. Вона характеризуєшвидкість втрати енергії і визначається за формулою

де W(t)— енергія системи в момент часу t;

W (t + Т) — енергія системи через одне повне коливання.

Оскільки енергія пропорційна до квадрата амплітуди, то виконується рівність:

При малих значеннях логарифмічного декремента загасання функцію ²⁸ можна розкласти в ряд і обмежитись першими двома його членами:

Тоді

 

 

Отже, добротність обернено пропорційна до логарифмічного декремента загасання коливань. Можна дістати й інші формули для розрахунків добротності, якщо скористатися здобутими раніше співвідношеннями:

 

Ось ці формули:

На рис. 4 наведено графіки коливань для систем з різною добротні­стю (). Чим більша добротність, тим повільніше загасають коли­вання. Обчислювати добротність за наведеними щойно формулами до­волі важко.

Можна це зробити простіше, знаючи кількість N коливань, після здійснення яких амплітуда зменшиться в е раз.

Справді, якщо , то логарифмічний декремент загасання ко­ливань буде

А добротність

За цією формулою зручно визначати добротність, якщо відома залеж­ність амплітуди коливань від часу А(t).

 

ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ

 

МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ

Рівняння руху

Компенсувати втрати енергії можна періодичним підведенняменергії до коливальної системи, Для цього достатньо докласти до системи збуджувальну сиву, яка періодичнозмінюється.

Тепер на систему будуть діяти три сили:

ПРУЖНА ПОВЕРТАЛЬНА СИЛА

СИЛА ОПОРУ

ЗБУДЖУВАЛЬНА СИЛА

 

Зауважимо, що кожній силі відповідає свій елемент на схемі (рис). Силі інерції відповідає інерційна маса, пружній силі — пру­жина, силі опору — пластинка, занурена в посудину з в'язкою рідиною. Для збуджувальної сили передбачено такий елемент: постійний магніт, розміщений у котушці, по якій тече змінші струм.

Ще одневажлаве правило: кількість членів у диференціальному рів­нянні дорівнює кількості елементів на схемі та кількості всіх сил, з ура­хуванням сили інерції.

Згідно з другим законом динаміки

або

Поділивши на т і позначивши:

дістанемо ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ РІВНЯННЯ ВИМУШЕНИХ МЕХАНІЧНИХ КОЛИВАНЬ:

Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння з правою частиною. Перш ніж записувати розв'язок цього рівняння, спробуємо, уявити собі фізичну картину процесу.

За доволі тривалого впливу періодична зовнішня сила, напевне, змусить систему здійснювати коливання зі своєю частотою. Виконувана цією силою робота компенсує витрати енергії на роботу проти сили опору. Тому слід очікувати, що кінець кінцем буде досягнуто повної компенсації і надалі повна енергія системи вже не змінюватиметься, а буде сталою.

Але в такому разі коливання мають бути незгасаючими. Це станеться, звичайно, не відразу, а через деякий час, який називається ЧАСОМ ПЕРЕХІДНОГО ПРОЦЕСУ. За цей час відбудеться перехід від загасаючих коливань до незгасаючих.

Тому й розв'язок диференціального рівняння складається з двох членів — x₁ і х₂

Перший член

— це частина, яка відповідає загасаючим коливанням, тобто перехідному процесу.

Другий член

— це частина, яка відповідає незгасаючим коливанням, тобто усталеному, стаціонарному процесу.

З часом перехідний процес «вимирає», тобто х₁ стає набагато меншим за х_г. Тому залишається тільки рівняння стаціонарного процесу.

Отже, система здійснює незгасаючі гармонічні коливання, частота яких дорівнює частоті збуджувальної сили. Рівняння коливань за формою збігаються з рівнянням вільних незгасаючих коливань.

Амплітуда вимушених коливань визначається за формулою

Різниця фаз між зміщенням і збуджувальною силою