Приклад розв’язування задач

Задача 1. Матеріальна точка, підвішена на нитці довжиною 1.00 м, здійснює гармонічні коливання. Записати рівняння цього коливання за законом косинуса та побудувати його графік, якщо початкове горизонтальне зміщення тіла від положення рівноваги становить 5 см і воно починає рух до положення рівноваги. Найбільше зміщення дорівнює 10 см.
Розв’язання. Рівняння гармонічних коливань вздовж осі х у загальному випадку має вигляд:

)

Записати рівняння коливань конкретного маятника означає підставити в загальне рівняння конкретне значення амплітуди А, циклічної частоти 𝝎 та початкової фази 𝜑.

1.Амплітуда коливання – найбільше зміщення від положення рівноваги. За умовою задачі ця величина дорівнює 10 см, тому

А= 10 см = 0,10 м.

2.Циклічна частота коливання – кількість коливань за 2π секунд. Вона обчислюється за відомим значенням довжини нитки:

𝝎=

За умовою задачі довжина нитки маятника ι дорівнює 1,00 мТоді

𝝎= = = 3,1

а період коливання:

T= ; T= = 2,0c.

3.Початкова фаза обчислюється за відомими значеннями початкового зміщення й амплітуди за формулою

= ; 𝜑= arcсos

За умовою задачі початкове зміщення тіла дорівнює 5 см, а амплітуда – 10 см. Тоді:

𝜑= arcсos = arccos0,5 = 60 = π/3.

Відповідь: 1) рівняння коливань заданого маятника

х = 0,10 cos (3,1 t + π/3) (м).

2) графік цього коливання (рис.2) – косинусоїда, зміщена ліворуч на (значення початкової фази), її амплітуда 0,10 м, а період 2с.

Задача 2. Матеріальна точка масою 10г коливається за законом х = 0,05 cos (0,6t + 0,8π) (м). Знайти залежність прискорення від часу, максимальну силу, що діє на тіло, та повну енергію коливання.
Розв’язання. Якщо коливання відбуваються за законом косинуса, то залежність прискорення від часу має вигляд:

a = - A cos (𝝎t + 𝜑).

Порівнюючи загальне рівняння гармонічних коливань з рівнянням, узятим з умови задачі, то бачимо що

А= 5· м; 𝝎= 0,6 рад/с; 𝜑= 0,8 рад.

Тоді залежність прискорення від часу описується рівнянням

a = -0, 05 · cos (o,6t + 0,8 π) = - 1,8 · cos (0,6t + 0,8π) м/с.

Силу що діє на тіло, можна знайти за другим законом Ньютона,

F = m ·a = -mA cos (𝝎t+ 𝜑).

Сила буде максимальною, коли cos (𝝎t+ 𝜑) = ±1. Тому

| | = mA , | | = 0, 01 · 0, 05 · = 1,8 · H.

Повну енергію коливання можна обчислити за відомою формулою

Е= m ,

Тоді

E= 0,01 · · = 4,5 · Дж.

Відповідь: Залежність прискорення від часу описується рівнянням:

a = - 1,8 · cos (0,6t + 0,8π) (м/ );максимальна сила що діє на тіло, | |=1,8·10^-4H;
повна енергія коливань E =4,5·10^-6 Дж.

Задача 3. Кулька масою m =250 г, підвішена до пружини,здійснює згасаючі коливання.
Обчислити логарифмічний декремент згасання, якщо за 4 хв маятник втрачае 99% своєї енергії.
Коефіцієнт пружності K =5 H/м
Розв`язання. Логарифмічний декремент згасання характеризує степінь згасання коливань і обчислюється за формулою
λ=βT,
де β – коефіцієнт згасання; T- період коливання

Коефіцієнт згасання можна знайти з формули залежності енергії згасаючих коливань від часу:
Е=Е₀е^-2β^t, де е – основа натурального логарифма; Е₀ – початкова енергія коливання.
Із цієї формули:
; 2β t = ; β=

β=

Період коливань знаходимо за формулами:
T = ; ; Т =
Частота власних коливань тіла, підвішеного до пружини:
,
тому
T = ; T =
Тоді логарифмічний декремент згасання маятника дорівнюе
λ=β T λ=9,6· ·1,4=1,34·
Відповідь. 1,34·
ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО КОНТРОЛЮ ТА ІНДИВІДУАЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

1.Вільнімеханічні незгасаючі коливання
1.1 Точка виконує вільні незгасаючі коливання за законом синуса. Найбільше зміщення точки становить 5 см, найбільша швидкість дорівнює 10 см/с. Визначити максимальне прискорення точки.(0,2 м/с²)
1.2 Визначити відношення кінетичної енергії точки, яка виконує вільні незгасаючу коливання, до її потенціальної енергії для моменту часу, коли зміщення від положення рівноваги становить одну сьому від амплітуди коливань (48)
1.3 Визначити початкову фазу коливань, якщо максимальне прискорення точки дорівнює 50 см/с², період коливань 4 с і зміщення точки від положення рівноваги в початковий момент часу становить 20 см. (π/2)
1.4 Точка виконує вільні незгасаючі коливання. У деякий момент часу зміщення точки дорівнює 4 см. У наслідок збільшення фази коливань вдвічі зміщення точки досягає 7 см. Визначити амплітуду коливань. (8,3 см)
1.5 Точка виконує вільні незгасаючі коливання за закономx= , см. У момент часу, коли точка мала потенціальну енергію 0,1 мДж, на неї діяла сила 5 мН. Визначити цей момент часу (0,46с)
1.6 Визначити період коливань математичного маятника, якщо максимальне зміщення дорівнює 18 см, а максимальна швидкість становить 16 м/с. (7 с)
1.7 Матеріальна точка виконує такі вільні незгасаючі коливання за законом синуса, що в початковий момент часу зміщення дорівнює 4 см, а швидкість 10 см/с. Визначити амплітуду коливань і початкову фазу, якщо період коливань становить 2 с. (5,1 см; 0,9 рад)
1.8 Точка виконує вільні незгасаючі коливання за законом x= , см. Визначити момент часу, в який потенціальна енергія точки становить 10^-4 Дж, а повертальна сила дорівнює 5·10^-3 Н. Визначити також фазу коливань у цей момент часу. (2,04 с; 4,07 рад)
1.9 Через який часвід початку коливань точка, яка виконує вільні незгасаючі коливання за законом синуса, матиме зміщення, яке дорівнює половині амплітуди, якщо період коливань становить 6,5 с, початкова фаза дорівнює нулю? (0,54 с)
1.10 Визначити відношення кінетичної енергії точки до її потенціальної енергії для моменту часу, коли фаза вільних незгасаючих коливань дорівнює π/6. (3)
1.11 Визначити початкову фазу коливань, які відбуваються за законом косинуса, якщо максимальна швидкість дорівнює 16 см/с, період коливань 1,4 с, а зміщення точки від положення рівноваги в початковий момент часу становить 2,84 см. (0,65 рад)
1.12 Визначити максимальну швидкість, якщо максимальне прискорення дорівнює 15 см/с², а найбільше зміщення від положення рівноваги становить 20 см. (0,182 м/с)
1.13 Записати рівняння вільних незгасаючих коливань, якщо максимальне прискорення точки дорівнює 49,3 см/с², період коливань становить 2 с, а зміщення точки від положення рівноваги в початковий момент часу дорівнює 25 мм. Вважати, що коливання відбуваються за законом синуса.
1.14 Матеріальна точка масою 1 г виконує вільні незгасаючі коливання за законом x=10sin100π t, см. Визначити, через скільки секунд її зміщення від положення рівноваги дорівнюватиме 0,08 м. Визначити кінетичну енергію матеріальної точки в цей час. (0,003 с, 0,18 Дж)
1.15 Матеріальна точка масою 0,5 г виконує вільні незгасаючі коливання за законом x=10sin50π t, см. Визначити через який час вона виконає 20 повних коливань. Чому дорівнює повна енергія коливань цієї матеріальної точки? (0,8 с; 62 мДж)

1.16 Швидкість матеріальної точки масою 1г, яка виконує вільні незгасаючі коливання, змінюється з часом за законом =500cos50π t, см. Визначити кінетичну енергію. Точки через 2 с після початку коливань. Скільки повних коливань виконала матеріальна точка за цей час? (0,12 Дж; 50)
1.17 матеріальна точка виконує вільні незгасаючі коливання за законом синуса, амплітуда коливань дорівнює 50 см. Через 20 с вона виконала 10 повних коливань. Визначити початкову фазу коливань і максимальне прискорення точки, якщо швидкість у цей момент часу дорівнює 100 см/с. (1,47 рад; 4,93 м/с²)
1.18 Матеріальна точка виконує вільні незгасаючі коливання за законом x=3cos , см. Визначити швидкість, прискорення, кінетичну і потенціальну енергію точки через час, що становить 3/8 періоду коливань. Маса матеріальної точки 0,5 г. (0,024 м/с; 0,29 м/с²; 0.15 мкДж; 2 мкДж)
1.19 Швидкість матеріальної точки масою 0,2 г, яка виконує вільні незгасаючі коливання, змінюється з часом за законом v=35cos , см/с. Визначити прискорення, кінетичну і потенціальну енергію точки через час, що становить 2/5 періоду коливань. Чому дорівнює повна енергія матеріальної точки? (-0,054 м/с²; 12 мкДж; 0,29 мкДж; 12,29 мкДж)
1.20 Матеріальна точка виконує вільні незагасаючі коливання за законом x=0,3 , см. Визначити зміщення точки від положення рівноваги через час, що дорівнює 1/6 періоду коливань. Чому дорівнюватиме зміщення точки в цей час. Якщо фаза коливань збільшиться вдвічі? (0,26 см; --0,26 см)
1.21 Записати рівняння гармонічного коливання кульки, якщо максимальне відхилення від положення рівноваги становить А = 5 см, за t = 1 хв здійснюється 150 коливан, а в початковий момент кулька перебуває у положенні рівноваги. (або х = 0,05 cos (5πt-π/2) (м), або x = 0,05 sin 5πt (м)).
1.22 Тіло масою 100 г підвішено до пружині, коефіцієнт пружності якої k = 200 H/m. Записати рівняння коливань цього тіла за законом косинуса, якщо воно виведене з положення рівноваги під дією сили F = 6 H. Початкове зміщення тіла дорівнює половині амплітуди. (x= 0.03 cos (45t + π/3) (м))
1.23 Через який час після початку руху точка, що здійснює гармонічні коливання, зміститься від положення рівноваги на половину амплітуди? Період коливань T =24с, початкова фаза 𝜑=0. (4с –якщо коливання здійснюються за законом косинуса; 2с- якщо за законом синуса.)
1.24 на кінцях тонкого стрижня завдовжки l=70 см закріплені однакові важки, по одному з кожного кінця. Стрижень з важками коливається навколо горизонтальної осі, що проходить через точку, віддалені на d =8 см від одного з кінців стрижня. Знайти зведену довжину та період коливань цього фізичного маятника. Записати рівняння коливань кожного з важків якщо максимальний кут відхилення маятника від положення рівноваги α=5^о, а початкова фаза 𝜑=π/2. (о,27 м; 2,41 с, x₁=0,007cos(0,83π t + π/3) (м); 0,28 м/с; 0,49 м/с²)
1.25 Математичний маятник завдовжки I- 1,00 м здійснює коливання. Амплітуда коливань А = 10 см, а початкове зміщення x₀ = 5 см. Записати рівнянняколивань, за законом косинуса, а також знайти швидкість V та прискорення а через одну секунду після початку коливань. (x= 0,1 cos(πt+π/3) (м); 0,28 м/с; 0,49 м/с²)

1.26 Початкова фаза гармонійних коливань, що здійснюються за законом синуса, 𝜑 = π/6.Черезяку найменшу частину періоду коливань швидкість точки набере максимального значения? (t = 5T/6).

1.26. Знайти початкову фазу коливання, що описується за законом косинуса, якщо максимальне прискорення точки a_max =50 см/с², період коливання Т= 4 с, а початкове зміщення х₀ = 20,3 см. (𝜑 = 0)

1.28 Рівняння коливань матеріальнї точки масою т= 16 г має вигляд х = 5 см