Их к каноническому виду

Линейные уравнения второго порядка в частных производных делят на три класса, в каждом из которых есть простейшие уравнения, называемые каноническими. Решения уравнений одного и того же класса имеют много общих свойств. Для изучения этих свойств достаточно рассмотреть канонические уравнения, так как другие уравнения данного типа могут быть приведены к каноническому виду.

Запишем линейное относительно производных второго порядка уравнение (1.88) в более краткой форме:

(1.92)

Классификация уравнений вида (1.92) проводится в соответствии со знаком дискриминанта .

Если в некоторой области выражение сохраняет знак, то уравнение (1.92) в этой области принадлежит:

а) к гиперболическому типу, если ;

б) параболическому типу, если ;

в) эллиптическому типу, если .

Пример. Определить тип уравнения

Решение. Здесь , , и для любых и . Значит, на всей плоскости, а следовательно и в некоторой области задания, данное уравнение является уравнением параболического типа.

Если уравнение рассматривается в области задания , то указанные три типа не всегда дают исчерпывающую классификацию, так как выражение может не сохранять знак во всей области. Тогда должна существовать кривая , вдоль которой выражение ; эта кривая называется линией параболического вырождения. При этом возможны два случая:

1) во всех точках , кроме , сохраняет знак, тогда уравнение (1.92) называется уравнением гиперболического или эллиптического типа с линией вырождения ;

2) выражение меняет знак в области , тогда уравнение (1.92) называется уравнением смешанного типа.

Пример. Определить тип уравнения

Решение. Здесь , , и, следовательно, . Дискриминант равен нулю, когда . Значит, гипербола является линией параболического вырождения, а данное уравнение относится к смешанному типу, причем области , где , и , где , являются областями гиперболичности и эллиптичности.