Вычисление интегралов

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), заданной на некотором множестве X, если F´(x) = f(x) для всех x принадлежащих этому множеству X. Если F(x) – первообразная функции f(x), то Ф(х) является первообразной той же функции в том случае, если Ф(х) = F(x) + C, где С – некоторая константа. Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом ∫f(x) dx = F(x) + C.

Вычисление неопределенного интеграла с помощью таблицы интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием. Из основных свойств интегралов чаще других при решении конкретных задач используется следующее свойство: интеграл от суммы функций равен сумме интегралов. Поэтому всегда необходимо функцию, стоящую под знаком интеграла, постараться разбить на некоторое количество слагаемых с помощью средств алгебры или тригонометрии.

Наиболее часто встречающимися методами интегрирования являются метод замены переменных, метод подведения под знак дифференциала, являющийся разновидностью предыдущего метода, а также метод интегрирования по частям.

При вычислении определенных интегралов пользуются теми же методами интегрирования, что и для неопределенных интегралов. При этом используется формула Ньютона-Лейбница. Если F(x) – одна из первообразных непрерывной на [a;b] функции f(x), то справедлива следующая формула:

= F(x) = F(b)-F(a)