Метод замены переменных

Существуют следующие два варианта этого метода:

а) метод подведения под знак дифференциала.

Пусть требуется вычислить интеграл ∫f(x)dx. Предположим, что существует дифференцируемая функция u=φ(x) и функция g(u) такая, что подынтегральное выражение f(x) может быть записано в виде:

∫f(x) dx = ∫g(φ(x))∙φ´(x) dx = ∫g(u) du

(указанное преобразование называется подведением u=φ(x) под знак дифференциала).

Т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке u=φ(x).

Пример: вычислить интеграл

= =

Пример: вычислить интеграл dx

dx= = =

Операция подведения функции под знак дифференциала эквивалентна замене переменной х на новую переменную u=φ(x).

Пример: вычислить интеграл

Произведём замену переменной по формуле: u=3x+1

Тогда du=3dx, то есть dx= du и

= = +C= +C

Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак дифференциала функции u=3x+1.

б) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интеграл , где функция f(x) определена на некотором множестве Х. Введём новую переменную формулой

где функция дифференцируема на некотором множестве U и осуществляет взаимно однозначное отображение U на Х, то есть

Подставив x= в исходное подынтегральное выражение, получаем:

f (x) dx = f(φ(u))∙φ´(u)du=g(u)du

Далее, справедливо равенство

то есть вместо вычисления интеграла необходимо вычислить интеграл (который может оказаться проще исходного), а затем произвести подстановку u=φ(x).

Пример: вычислить интеграл dx

В рассматриваемом случае область определения подынтегральной функции X= .

Произведём подстановку , u

Тогда dx=2udu, u= , откуда

dx=2 du=

Пример: вычислить интеграл, преобразовав выражение, стоящее под знаком интеграла к табличному интегралу

Пример: вычислить определенный интеграл

Определенный интеграл решается заменой переменной. За новую переменную принимаем cosx=t, тогда –sinxdx=dt. Затем следует изменить пределы интегрирования