Тема 2. Дифференциальное исчисление

Определение производной

Определение 2.1: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

Механический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е.

Уравнение касательной к графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функции в точке :

Таблица производных

 

Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.

Найти производные функций:

Пример 1:

+

Пример2:

Пример 3:

Дифференцирование сложной функции

Пусть y= y(u), где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция.

Производные сложных функций находятся при помощи таблицы:

 

Рассмотрим примеры.

 

Пример 1: Найти производную функции

Решение: =

Пример 2: Найти производную функции

Решение:

=

+