2017-11-01
483
Определение производной
Определение 2.1: Производной функции 
по аргументу x называется предел отношения ее приращения 
к приращению 
аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:
.
Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.
Механический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. 
.
Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е. 
Уравнение касательной к графику функции в точке 
:
Уравнение нормали к графику функции в точке :
Таблица производных
| 
|
Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.
Найти производные функций:
Пример 1: 
+
Пример2: 
Пример 3: 
Дифференцирование сложной функции
Пусть y= y(u), где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция.
|
|
|
Производные сложных функций находятся при помощи таблицы:
| 
|
Рассмотрим примеры.
Пример 1: Найти производную функции 
Решение: 
= 
Пример 2: Найти производную функции 
Решение: 
= 
+
