Основные теоремы о пределах

Пусть f (x) и φ (x) – функции, для которых существуют пределы при x → x ₀(∞): f (x)= A и φ (x)= B.

Теорема 1. Функция не может иметь более одного предела при x → x ₀(∞).

Теорема 2. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е. (f (x) ± φ (x))= A ± B.

Теорема 3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е. (f (x) × φ (x))= A × B. В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е. (c f (x))= c A.

Теорема 4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя отличен от нуля, т.е. f (x)/ φ (x)= A / B (B ≠0).

Теорема 5. Если f (u)= A, u (x)= u ₀, то предел сложной функции f (u (x))= A.

Теорема 6. Если в некоторой окрестности точки x ₀ (или при достаточно больших x) f (x)< φ (x)), то f (x)≤ φ (x).

Замечание. В теоремах о пределах предполагается существование пределов функций f (x) и φ (x), из чего следуют заключения о значениях пределов суммы, произведения или частного функций. Однако из существования предела суммы, произведения или частного функций не следует, вообще говоря, существование пределов самих слагаемых, множителей или делимого и делителя.

Признак существования предела функции. Если в некоторой окрестности точки x ₀ (или при достаточно больших значениях аргумента x) функция f (x) заключена между двумя функциями φ (x) и ψ(x), имеющими одинаковый предел A при x → x ₀(∞), то функция f (x) имеет тот же предел A.