Свойства функций, непрерывных в точке

· Если функции f (x) и φ (x) непрерывны в точке x ₀, то их сумма f (x) ± φ (x), произведение f (x) × φ (x) и частное f (x)/ φ (x) (при условии что φ (x ₀)≠0) являются функциями, непрерывными в точке x ₀.

· Если функции y = f (x) непрерывна в точке x ₀ и f (x ₀)>0, то существует такая окрестность точки x ₀, в которой .

· Если функции y = f (u) непрерывна в точке u ₀, а функция u = φ (x) непрерывна в точке u ₀= φ (x ₀), то сложная функция y = f (φ (x)) непрерывна в точке x ₀., т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Все элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке

I теорема Вейерштрасса Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она ограничена на этом отрезке.
II теорема Вейерштрасса Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ], то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений
Теорема Больцано-Коши Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и значения ее на концах отрезка имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка ξÎ[ a; b ] такая, что f (ξ)=0.