Матрицы. Основные определения. Действия с матрицами

 

Определение 1. Прямоугольная таблица чисел или иных математических

выражений, состоящая из m строк и n столбцов

 

- i- я строка

­ -j- й столбец

 

называется матрицей.

Числа а_ij, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.

 

Определение 2. Матрица, состоящая из одной строки, называется

Матрицей – строкой.

 

Определение 3. Матрица, состоящая из одного столбца, называется

матрицей – столбцом.

 

Определение 4. Матрица, у которой число строк совпадает с числом

столбцов, называется квадратной.

 

Пример 1. квадратная матрица 2 – го порядка;

 

квадратная матрица 3 – го порядка.

 

Обозначение: матрицы, как правило, обозначаются большими латинскими буквами А, В, С, …, или с указанием их размера m´n: А_m´n, В_m´n, …, а элементы матрицы обозначаются маленькими буквами а_ij, в_ij, с_ij, … с индексами, указывающими на номер строки i и столбца j, в которых расположен указанный элемент.

Определение 5. Матрица, у которой все элементы с индексами i ¹ j (вне

главной диагонали) равны нулю, называется диагональной.

 

Пример 2. ; - диагональные матрицы.

 

Определение 6. Единичной называется матрица Е с единицами на главной

диагонали:

 

Е = .

 

Определение 7. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется

нулевой и обозначается О.

Определение 8. Матрицы А и В называются равными, если они имеют

одинаковые размеры и при этом элементы матриц А и В,

расположенные на одинаковых местах, равны между собой:

а_ij = b_ij " i, j.

 

Действие (или операция), согласно которому все строки некоторой произвольной матрицы А преобразуются в столбцы, а все столбцы этой матрицы преобразуются в строки, называется транспонированием. Транспонированная матрица обозначается А^Т.

Определение 9. Матрица А^Т, элементы которой а^Т_ij = а_ij " i,j,

называется транспонированной.

Пример 3. Если матрица А = то А^Т =

 

Определение 10. Симметричной называется квадратная матрица, у

которой а_ij = а_ji " i,j (т.е. элементы, расположенные

симметрично относительно главной диагонали, равны).

 

Пример 4. .

 

Определение 11. Суммой матриц А и В одинаковых размеров называется

матрица С тех же размеров, элементы которой

с_{ij =} а_{i j} + в_{i j} " i, j.

 

Пример 5.