Свойства сложения матриц

 

1. А + В = В + А (коммутативность).

 

2. (А + В) + С = А + (В + С) (ассоциативность).

 

3. А + О = О + А = А.

 

Определение 12. Произведением матрицы на число l называется матрица В

тех же размеров, что и матрица А, причем b_ij = lа_ij " i, j.

 

Пример 6. 3×

 

Свойства умножения матрицы на число

 

1. l(m A) = (lm) A (ассоциативность).

2. l(A + B) = l A + l B (дистрибутивность).

3. (l + m) A = l A + m A (дистрибутивность).

 

Пример 7. 2

 

Определение 13. Произведением двух матриц А и В называется матрица С,

у которой элемент с_ij равен сумме произведений каждого

элемента i –й строки матрицы А на соответствующие

элементы j –го столбца матрицы В

 

c_{i j} = (i = 1,2, …,m; j = 1,2, …, n).

 

Замечание 1. Умножение двух прямоугольных матриц возможно только в том случае, когда число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы, т.е.

А _m´k × B _k´n = C _m´n.

 

Замечание 2. Произведением двух квадратных матриц А и В одинакового размера является квадратная матрица С того же размера.

 

Пример 8. Найти произведение АВ, если А = и В =

Решение. АВ =

= .

 

Свойства умножения матриц

 

1. (АВ) С = А (ВС) (ассоциативность).

2. (А + В) С = АС + ВС (дистрибутивность).

3. АВ ¹ ВА (вообще говоря) – отсутвие коммутативности.

4. АО = О; ОА = О.

5. АЕ = А; ЕА = А.

 

Определение 14. Матрицы А и В, для которых АВ = ВА называются

коммутирующими (или перестановочными).