Геометрические свойства векторного произведения

1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения: [ a, b ] = 0.

2. Длина (или модуль) векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах a и b (рис. 6).

Смешанным произведением трех векторов a, b и с называется число (a, b, с),

которое получается, если вектор а умножить на вектор b, а затем получившийся при этом вектор [ a, b ] скалярно умножить на вектор с:

(a, b, с) = ([ a, b ], с).

Если три вектора a, b и с определены своими декартовыми прямоугольными координатами

а = (x_a, y_а , z_а), b = (x_в , y_в , z_в), c = (x_с , y_с , z_с),

то смешанное произведение (a, b, с) равняется определителю, строки которого есть координаты перемножаемых векторов:

(a, b, с) = .

Алгебраическое свойство смешанного произведения

([ a, b ], с) = (a,[ b, с ]) = (b,[ с, a ]).