Геометрические свойства скалярного произведения

 

1. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов

a и b является равенство нулю их скалярного произведения: (a,b) = 0.

2. Угол a векторами a и b определяется соотношением

 

cosa = . (12)

 

3. Два вектора a и b составляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

 

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор с, обозначаемый с = [ a, b ], длина которого равна произведению длин векторов a и b, умноженному на синус угла a между ними, т.е.

 

| с | = |[ a, b ] | = с = | a | × | b | sin a = | a | × | b | sin (a, b), (13)

 

при этом ветор с ортогонален каждому из векторов a и b и направлен так, что тройка векторов a, b и с является правой.

Если векторы a и b определены своими декартовыми координатами, то их векторное произведение можно записать через определитель

[ a, b ] = . (14)

 

 

Рис. 6

 

Раскрывая определитель по элементам первой строки, получаем разложение вектора [ a, b ] по базису { i, j, k }

 

[ a, b ] = (y_a z_b – y _bz_а) i – (x_а z_b – x_b z_а) j + (x_а y_b – x_b y_а) k. (14-1)

 

 

Алгебраические свойства векторного произведения

1. [ a, b ] = - [ b, a ].

2. [l a, b ] = l×[ a, b ] "lÎ R.

3. [ a + b, с ] = [ a, с ] + [ b, с ].

4. [ a, а ] = 0.