double arrow

Геометрические свойства скалярного произведения


 

1. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов

aи bявляется равенство нулю их скалярного произведения: (a,b) = 0.

2. Угол a векторами aи bопределяется соотношением

 

cosa = . (12)

 

3. Два вектора aи bсоставляют острый (тупой) угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение положительно (отрицательно).

 

Векторным произведением вектора aна вектор b называется вектор с, обозначаемый с = [a,b], длина которого равна произведению длин векторов aи b, умноженному на синус угла a между ними, т.е.

 

|с| = |[a,b] | = с = |a|×|b| sin a = |a|×|b| sin (a,b), (13)

 

при этом ветор сортогонален каждому из векторов aи b и направлен так, что тройка векторов a, bи с является правой.

Если векторы aи bопределены своими декартовыми координатами, то их векторное произведение можно записать через определитель

[a,b] = . (14)

 

 

Рис. 6

 

Раскрывая определитель по элементам первой строки, получаем разложение вектора [a,b] по базису {i, j, k}

 

[a,b] = (ya zby bzа) i – (xа zbxb zа) j + (xа ybxb yа) k . (14-1)

 

 

Алгебраические свойства векторного произведения

1. [a,b] = - [b, a] .

2. [la,b] = l×[a,b] "lÎR.

3. [a+b, с] = [a,с] + [b, с] .

4. [a,а] = 0.

 

 


Сейчас читают про: