Характеристическое уравнение

 

Во многих областях науки и техники, например, электро- и радиотехнике, механике, экономике, в теории кодирования и обработки сигналов широко используется понятие «собственное значение» и «собственный вектор».

Определение 25. Число l называется собственным значением, а ненулевой вектор х называется собственным вектором матрицы А, задающей линейное преобразование, если они связаны между собой соотношением

 

Ах = l х Û (А -l Е) х = О. (8)

 

Это матричное уравнение задает систему однородных линейных уравнений:

 

, (9)

которая имеет ненулевое решение в том случае, когда ее определитель | А -l Е | равен нулю.

 

Определение 26. Характеристическим уравнением квадратной матрицы А называется уравнение

| А -l Е | = 0.

 

Пример 24. Найти собственные значения и собственные векторы линейного

 

преобразования с матрицей А = .

 

Решение. Составим характеристическое уравнение | А -l Е | = 0 Þ

 

(7 -l)[(5 -l)(6 -l) - 4] + 2 × (-2)(5 -l) =

 

= -l³ + 18l²- 99l + 162 = 0 Þ (l-3)(l- 15l + 54) = (l- 3)(l- 6)(l- 9) = 0.

 

Таким образом нашли собственные значения линейного преобразования с матрицей А, равные: l₁ = 3, l₂ = 6, l₃ = 9.

 

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению

 

l₁=3. Подставим l = 3 в систему (9) и получим .

 

С помощью элементарных преобразований получим систему, эквивалентную

 

данной , ранг которой r = 2. Так как число неизвестных в

 

системе n = 3 > r = 2, то в качестве базисных выберем переменные х₁ и х₂, а свободной переменной будет х₃. Полагая х₃= 2 t, где t – произвольное число, из последней системы найдем: х₂ = 2 t, х₁ = t.

 

 

Таким образом собственному значению l₁ = 3 соответствует собственный

вектор Х ₁ = . Аналогично, собственным значениям l₂ = 6 и l₃ = 9 соответствуют собственные векторы Х ₂ = и Х ₃ = .