double arrow

Поверхности 2-го порядка


 

Студент должен уметь распознавать указанные в таблице две поверхности 2-го порядка по их каноническим уравнениям, используя при этом метод сечений.

Таблица 2

Каноническое уравнение Название Схематический чертеж
Трехосный эллипсоид
Однополостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид
Конус 2-го порядка

Следует, также, обратить внимание на цилиндры 2-го порядка

 

; ; у2= 2рх

 

и на поверхности вращения 2-го порядка. Например, если в уравнении однополостного гиперболоида

Положить а = b, то в сечении поверхности плоскостью z = h будут получаться окружности

,

следовательно, в этом случае поверхность является однополостным гиперболоидом вращения (он получается вращением гиперболы

вокруг оси ОZ).

 

Пример 32. Составить уравнение поверхности, образованной вращением линии x2 - pz2 = 4 вокруг оси OZ. Подобрать значение параметра р так, чтобы точка А(1,2,-1) лежала на этой поверхности. Указать название полученной поверхности и сделать её эскиз.

Решение. Уравнением вращения линии F(x,z) = 0 вокруг оси OZ является уравнение

,

так как при вращении вокруг оси OZ в уравнении без изменения остается координата z , а х заменяется на (аналогичный факт имеет место и по отношению к поверхностям, получаемым вращением плоских линий вокруг других координатных осей).

Таким образом, в рассматриваемом примере получим уравнение

или x2 + y2pz2 = 4.

Найдем параметр р , учитывая требования задачи. Координаты точки А должны удовлетворять найденному уравнению поверхности. Подставляя координаты точки в уравнение, получим 1+ 4 - р = 4 Þр = 1. Тогда искомое уравнение примет вид

x2 + y2 – z2 = 4 или в канонической форме .

Это уравнение описывает однополостный гиперболоид вращения.

 

Пример 33. Построить поверхность, определяемую уравнением:

9 x2 + 4 y2+ 36 z2 -18x - 16y +216 z + 313 = 0.

Для выполнения задания необходимо:

а) привести данное уравнение поверхности к каноническому виду;

б) определить вид поверхности и ее расположение относительно системы координат;

с) записать название поверхности и сделать чертеж.

 

Решение. Группируем члены уравнения, содержащие одинаковые переменные:

 

(9 x2 - 18 x) + (4 y2 - 16 y) + (36 z2 + 216 z) + 313=0 Þ

 

9( x2 - 2 x) + 4( y2 - 4 y) + 36( z2 + 6 z) + 313=0.

 

Выделяем полный квадрат в каждой скобке:

 

9((x2 - 2x +1) - 1) + 4((y2- 4y+ 4) - 4)+36((z2+ 6z + 9) - 9) + 313 = 0 .

 

Получим 9((x-1) 2-1) + 4((y-2) 2- 4) + 36((z+3) 2-9) + 313 = 0 Þ

 

9(x-1) 2-9 + 4(y-1) 2-16 + 36(z+3) 2-324 + 313=0 Þ

 

9(x-1) 2 + 4(y-2) 2 + 36(z+ 3) 2 = 36 .

 

Разделим обе части уравнения на свободный член и получим каноническое уравнение эллипсоида с центром в точке О1(1,2,-3)

 

.

 

Для построения этого эллипсоида сделаем в уравнении замену переменных

x-1= x1, y-2 = y1, z +3 = z1 .

В новых переменных уравнение эллипсоида примет вид:

 

.

 

Сделаем чертеж. Для этого через центр эллипсоида O1(1,2,-3) проведем оси

O1X1 , O1Y1, O1Z1 , и в этой системе координат построим эллипсоид

 

, где a = 2 , b = 3 , c = 1 (рис. 7).

 

 

Рис. 7

 

Вопросы для самопроверки

1. Какие поверхности заданы уравнениями:

 

4x2+9y2+z2 = 36 ;

4x2+9y2-z2 = 36 ;

4x2+9y2-z2= -36 ;

3x2+4y2 = z2 ;

3x2- 4y2= z2;

x2+ y2 = z ;

x2+ z2= 1;

x2z2= 0 ;

y2= 4x .

 

2. Составить уравнение поверхности, образованной вращением прямой

у = kх вокруг оси ОХ.

 

3. Какую поверхность в пространстве описывает алгебрарическое уравнение 2-го порядка, содержащее лишь две переменные?

 

 


Сейчас читают про: