IV. Производная и дифференциал функции

4.1. – 4.10. Найти производные данных функций.

 

4.1.а) ; б) ; в) ; г) .

4.2.а) ; б) ; в) ; г) .

4.3.а) ; б) ; в) ; г) .

4.4.а) ; б) ; в) ; г) .

4.5.а) ; б) ; в) ; г) .

4.6.а) ; б) ; в) ; г) .

4.7.а) ; б) ; в) ; г) .

4.8.а) ; б) ; в) ; г) .

4.9.а) ; б) ; в) ; г) .

4.10.а) ; б) ; в) ; г) .

 

 

4.11. а) Записать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой .

б) Закон движения материальной точки (м). Найти скорость ее движения в момент времени .

4.12. а) В какой точке кривой касательная перпендикулярна к прямой .

б) Закон движения материальной точки (м). В какие моменты времени скорость ее движения равна 0 м/с?

4.13. а) Записать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

б) По оси движутся две материальные точки, законы движения которых (м) и (м). С какой скоростью эти точки удаляются друг от друга в момент встречи?

4.14. а) В каких точках кривой касательная составляет с осью угол ?

б) Закон движения материальной точки (м). Найти скорость ее движения в момент времени .

4.15. а) Записать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой .

б) Материальная точка движется по гиперболе так, что ее абсцисса равномерно возрастает со скоростью 1 м/с. С какой скоростью изменяется ордината точки, когда она проходит положение (6; 2)?

4.16. а) В какой точке кривой касательная составляет с осью угол ?

б) Закон движения материальной точки (м). Найти ее скорость в момент времени с.

4.17. а) Найти точку на кривой , касательная в которой параллельна прямой .

б) Закон движения материальной точки

(м). Найти скорость ее движения в момент времени с.

4.18. а) Записать уравнение нормали к кривой в точке с абсциссой .

б) В какой точке параболы ордината возрастает в четыре раза быстрее, чем абсцисса?

4.19. а) Найти точки на кривой , в которых касательные параллельны оси .

б) По оси движутся две материальные точки, законы движения которых (м) и (м). В какой момент времени их скорости будут равными?

4.20. а) Найти точку на кривой , касательная в которой перпендикулярна к прямой .

б) Закон движения материальной точки (м). В какой момент времени ее скорость будет равна 42 м/с?

 

 

V. Приложения дифференциального исчисления.

 

5.1. – 5.10. Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя.

 

5.1. а) ;	б) .
5.2. а) ;	б) .
5.3. а) ;	б) .
5.4. а) ;	б) .
5.5. а) ;	б) .
5.6. а) ;	б) .
5.7. а) ;	б) .
5.8. а) ;	б) .
5.9. а) ;	б) .
5.10. а) ;	б)

 

 

5.11. – 5.20. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

 

5.11. .	5.12. .
5.13. .	5.14. .
5.15. .	5.16. .
5.17. .	5.18. .
5.19. .	5.20. .

 

5.21. – 5.30. Провести полное исследование указанной функции методами дифференциального исчисления и построить ее график.

 

5.21. .	5.22. .
5.23. .	5.24. .
5.25. .	5.26. .
5.27. .	5.28. .
5.29. .	5.30.