Свойства двойных интегралов

Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D плоскости O_xy. Разобьем область D произвольным образом на n областей S₁, S₂, …, S_n, в каждой из них произвольным образом выберем по точке: , , которые назовем точками пунктуации. Обозначим через - площадь, а через - расстояние между двумя наиболее удаленными точками i-ой области (диаметр i-ой области), i=1,…,n. Пусть .

Определение. Интегральной суммой Римана функции z=f(x,y) по области D называется

(1)

Заметим, что сумма зависит от способа разбиения области D на части и от способа выбора точек пунктуации.

Определение. Если существует предел интегральной суммы Римана (1) при , и этот предел не зависит ни от способа разбиения области, ни от выбора точек пунктуации, то он называется двойным интегралом от функции z=f(x,y) по области D и обозначается

Таким образом,

(2)

Отметим, что согласно определению равен площади области D.

Свойства двойных интегралов аналогичны свойствам определенных интегралов. Выделим два из них, наиболее часто используемых на практике.

1) Свойство линейности. Если функции f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в области D, то справедлива формула:

2) Свойство аддитивности. Если область D разбита на две области D₁и D₂ без общих точек, и функция f(x,y) интегрируема в области D, то справедлива формула:

Теорема 1. Если область D ограничена слева и справа вертикальными прямыми x=a, x=b, а снизу и сверху – кривыми , причем функции - непрерывны и на промежутке [a,b] (Рис.1), то

. (3)

Таким образом, вычисление двойных интегралов сводится к последовательному вычислению двух интегралов, сначала вычисляется интеграл по переменной y (x - параметр), а потом полученный результат интегрируется по x, то есть двойной интеграл представим в виде повторных интегралов.